Математическая модель процесса качения пневматического колеса по деформируемому грунту
Лазарев В.В. (БГИТА, г. Брянск, РФ)
The mathematical model for calculation by a method is developed iterations on the COMPUTER of process swing a pneumatic wheel. On a deformable ground, using for this purpose known. Dependences between loading on a ground and his deformation.
Для современного состояния теории качения колеса по деформируемому грунту характерно наличие значительного числа методических подходов к решению задач связанных с процессом взаимодействия колесного движителя с грунтом. Сложность рассматриваемого процесса из-за неоднородности и нестабильности параметров грунта обуславливает приближенность любых аналитических решений. В этой связи в данном случае более целесообразно применение метода абстрагирования, чем применение строгих теоретических обоснований. Такой подход обеспечивает возможность для определения параметров контакта колес с грунтом использовать известные математические зависимости, дающие результаты расчета, как это отмечается в работе [1], достаточно близкие к действительности.
Расчетная схема процесса взаимодействия колеса с грунтом, в которой, как это предложено целым рядом исследователей выделяются две характерные зоны контакта колеса с грунтом – плоские и кривошипные (рисунок 1).
Рисунок 1 – Расчетная схема процесса взаимодействия пневматического колеса с грунтом
При этом приняты следующие допущения.
1) Площадь Sпл плоской зоны контакта колеса с грунтом представлена в
виде эллипса с полуосями «» и
(см. рисунок 1). Из треугольников AOB и
следует
,
, где R-
свободный радиус колеса; Rпр - радиус протектора
шины; ∆- радиальная деформация шины в плоской зоне контакта колеса с грунтом.
Поскольку для реальных соотношений величин , Rпр и ∆ у
существующих шин произведение 2Rпр∆, а тем более 2R∆>>∆
2, то с погрешностью расчета не более 1-2% величину ∆ 2
из под знака радикала можно исключить, что позволяет значительно упростить вывод
расчетных зависимостей. При этом рассматриваются два случая.
а) Случай А, когда прогиб ∆ шины не превышает
максимальный прогиб ее протектора (). В этом случае
.
б) Случай Б, когда прогиб . В этом случае принимается,
что
ширина
плоской зоны имеет предельную величину равную ширине
протектора.
2) Геометрическую форму и размеры площади Sкр проекции
криволинейной зоны контакта колеса с грунтом на горизонтальную плоскость N-N представим в
виде полуразности площади эллипса с полуосями Lк и , где bк - ширина контакта колеса с грунтом на поверхности
колеи и площади эллипса плоской зоны контакта (см. рисунок 1).
Для определения bк воспользуемся зависимостью полученной Я.С. Агейкиным на основе обработки экспериментальных данных [2].
, (1)
где В и Н – соответственно ширина и глубина профиля шины; h – глубина колеи.
3) Среднее давление qкр в
криволинейной зоне контакта колеса с грунтом, как это предложено в работе [1],
принимается равным среднему давлению q
в плоской зоне, соответствующему
глубине погружения колеса на .
4) Условно принимается, что плоская зона контакта колеса с грунтом по отношению к колесу является твердой опорной поверхностью. При таком допущении значение ∆, на основании зависимости для определения радиуса качения пневматического колеса по твердой опорной поверхности, представим в следующем виде
, (2)
где
- константа
шины, отражающая влияние ее конструктивных параметров на величину ∆;
- нормальная
нагрузка на плоскую зону контакта колеса с грунтом;
- атмосферное давление;
- избыточное давление
воздуха в шине.
5) Форму и размеры площади проекции криволинейной зоны
контакта колеса с грунтом на плоскость ZOY, величиной
которой необходимо располагать при определении силы сопротивления грунта качению
колеса, представлены в виде прямоугольника с высотой равной глубине колеи и
шириной b [1].
(3)
В соответствии с принятыми допущениями нормальные нагрузки на плоскую зону Gпл и криволинейную Gкр зоны контакта колеса с грунтом можно представить в следующем виде.
Для
случая А: ; (4)
. (5)
Для
случая Б: ; (6)
, (7)
где
- длина
полухорды окружности с радиусом R.
Решая зависимости (4) и (6) совместно с зависимостью (2) после преобразований получим:
-
для случая А: ; (8)
- для случая Б: (9)
На
основании полученных выше результатов уравнения равновесия вертикальных сил,
действующих на колесо при его качении по грунту без учета силы , можно представить в
следующем виде:
-
для случая А (10)
-
для случая Б ,
(11)
где
;
.
Каждое из уравнений (9) и (10) содержит четыре неизвестных: ∆, q, qкр и h. Поскольку их значения взаимосвязаны, то решения этих уравнений можно выполнить, используя метод итерации (приближения) с помощью ЭВМ.
Для достижения этой цели, задавшись шагом счета глубины h колеи, приняв, например, ∆h= 0,001 м, каждый цикл счета на ЭВМ следует выполнять в следующей последовательности:
1)
.
2)
. Если
, то значения ∆
определяется по зависимости (8), если иначе, то по зависимости (9).
3)
.
4)
.
5)
, если
. Если иначе, то
.
6)
.
7)
.
8)
, если
, иначе
9)
.
10)
.
11)
.
12)
.
13)
.
Расчет проводится до тех пор, пока не будет соблюдаться следующее равенство
, (14)
где - величина нормальной нагрузки
приходящейся на плоскую зону контакта колеса с грунтом, соответствующая
принятому шагу счета
.
Выполнение этого равенства свидетельствует о справедливости результатов, полученных в последнем цикле счета.
Предлагаемая методика расчета позволяет для определения параметров качения пневматического колеса по грунту использовать практически любую известную зависимость между нагрузкой и нормальной осадкой грунта.
Воспользуемся, например, для этой цели весьма распространенной степенной зависимостью Винклара-Гесретерна-Бернштейна
,
(15)
где с и μ – параметры грунта.
Представим зависимость (15) в следующем виде
,
где h0 – базовая деформация грунта.
Если принять, что h0 = 0,01 м, то такое представление зависимости (15) позволяет при расчетах в системе СИ использовать имеющиеся экспериментальные данные с и μ справедливые при размерности q равной кгм/см2.
При этом можно записать
, м.
(16)
В соответствие с принятой расчетной схемой зависимость для определения силы сопротивления грунта представим в следующем виде
, (17)
где Syoz – симметричная половина площади лобового сопротивления качению колеса по грунту; qкр = qζz - давление колеса на грунт в криволинейной зоне контакта колеса с грунтом.
Имея в виду, что в данном случае
,
после преобразований зависимости (17) приходим к следующему результату
.
(19)
В качестве следующего примера для определения величин h, Pf и значения ζz воспользуемся зависимостью профессора В.В. Кацыгина между нормальным напряжением σ и деформацией грунта, представленной в виде функции гиперболического тангенса [2]
,
(20)
где σ0 - предел прочности грунта; к0 – коэффициент объемного смятия грунта.
После ряда преобразований зависимости (20) автором настоящей работы получены следующие формулы:
;
(21)
; (22)
, (23)
где ,
.
Литература
1. Агейкин Я.С. Проходимость автомобилей/ Я.С.Агейкин. – М.: Машиностроение, 1981. – 232 с.
2. Тракторы: теория. Учебник для студентов вузов по спец. «Автомобили и тракторы» / В.В.Гуськов, Н.Н. Веляев, Ю.Е. Атаманов и др. Под общ. ред В.В.Гуськова. – М.: Машиностроение, 1988. – 376 с.