ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ  ПРИ определениИ ОПТИМАЛЬНого количества ПУНКТов сбора платы за проезд на платном участке дороги

 

Власов С.С., Гасилов В. В. (ВГАСУ, г. Воронеж, РФ),

Бондарев Б.А. (ЛГТУ, г. Липецк, РФ)

 

Modelling of mass service systems. Use of mass service system at definition of necessary quantity of points for gathering of a payment for travel on a paid site of road.

 

Системы массового обслуживания — это такие системы, в кото­рые в случайные моменты времени поступают заявки на обслужи­вание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслу­живание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживаю­щую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требова­ние из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его об­служиванию. После завершения процедуры обслуживания очеред­ного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подоб­ного рода повторяется многократно в течение всего периода рабо­ты обслуживающей системы. При этом предполагается, что пере­ход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

•  посты технического обслуживания автомобилей;

•  посты ремонта автомобилей;

•  станции технического обслуживания автомобилей;

•  аудиторские фирмы;

• телефонные станции и т. д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслужи­вание;

• дисциплина очереди;

• механизм обслуживания.

В качестве основных критериев эффективности функционирова­ния систем массового обслуживания в зависимости от характера ре­шаемой задачи могут выступать:

•  вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

•  вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

•  относительная и абсолютная пропускная способность системы;

•  средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

•  среднее время ожидания в очереди;

•  средняя длина очереди;

•  средний доход от функционирования системы в единицу време­ни и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установле­ние зависимости между факторами, определяющими функциональ­ные возможности системы массового обслуживания, и эффектив­ностью ее функционирования. В большинстве случаев все параме­тры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы от­носятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в об­щем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе мас­сового обслуживания (СМО), различают системы марковские и не­марковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими.

Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслужива­ния. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслужива­ния используют марковскую схему. В случае немарковских процес­сов задачи исследования систем массового обслуживания значи­тельно усложняются и требуют применения статистического моде­лирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе мас­сового обслуживания, различают два основных вида СМО:

• системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же по­кидает очередь;

• системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступив­шая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, стано­вится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на си­стемы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

• длина очереди;

• время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в оче­реди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подой­дет очередь.

Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:

•  одноканальные системы;

•  многоканальные системы.

Приведенная классификация СМО является условной. На прак­тике чаще всего системы массового обслуживания выступают в ка­честве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала об­служивания до определенного момента, после чего система начи­нает работать как система с отказами.[1]

В нашем случае для определения необходимого количества пунктов сбора платы за проезд на платном участке дороги (с) рассматривается многоканальная система массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной транспортный поток является пуассоновским с интенсивностью Инт прог. Средняя продолжительность обслуживания од­ной машины в пункте сбора равна — 1/μ, которая определяется на основе статистических данных работы пункта. За единицу времени принята 1 минута, соответственно, интенсивность входного потока λ = Инт прог/525600. Режим функционирования того или иного пункта не влияет на режим функционирования других пунктов сбора системы, причем длительность процедуры взимания платы каждым из пунктов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Также необходимо отметить, что средняя продолжительность пребывания машины в системе ограничена Ws и условием стационарности системы является:

.

Определим необходимое количество пунктов сбора платы за проезд на платном участке, исходя из того, что вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО  с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам [2]:

ρ = λ / μ                                                                                                      (1)

• среднее число клиентов в очереди на обслуживание

                                                                                (2)

• среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на об­служивание в очереди)

L_S = L_q + ρ                                                                        (3)

•  средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди

                                                                                                   (4)

•  средняя продолжительность пребывания клиента в системе

                                                                                                     (5)

 

; ;

 

;                                                                                                  (6)

 

                                                                            (7)

 

.                                                (8)

Принимая во внимание, что общая максимальная плата за проезд по всем категориям автотранспорта меньше или равна суммарной экономической выгоде пользователей платного дорожного объекта по сравнению с альтернативным проездом, получаем:

(Дi x Ri) / (365 x Инт прог) ≤ Эi,                                                                (9)

где Ri – норма дисконта i-того года;

Инт прог – прогнозируемая интенсивность на новой платной дороге;

Эi - суммарная экономическая выгода пользователей платного дорожного объекта по сравнению с альтернативным проездом i-того года.

Дi = Зсод i + Зстр/N + Кi + Пс i + ДДi + Чпi+(Зшсодi+Зшстр/N)*с,               (10)

где    Зсод i – эксплуатационные затраты i-того года;

Зстр - затраты на реализацию проекта строительства новой или модернизации существующей автодороги;

N – количество лет концессии;

Кi – проценты, выплачиваемые по банковским кредитам i-того года;

Пс i - расходы на социальные нужды - представлены в форме доли чистой прибыли, нормируемой от инвестированного капитала или от стоимости ОПФ i-того года;

Ддi – выплата дивидендов i-того года;

ЧПi – чистая прибыль i-того года;

Зшсодi+Зшстр/N – удельные затраты на содержание и строительство 1 пункта сбора платы за проезд;

с – количество пунктов сбора платы.

Определим из неравенства с:

с ≤ (Эi х 365 х Инт прог) / Ri – Зсодi – Зстр/N –Кi – Псi – Ддi – Чпi .               (11)

Зшсодi+Зшстр/N

         Исходя из условия стационарности системы и того, что с (необходимое количество пунктов сбора платы за проезд на платном участке) – натуральное число (сЄN), получаем систему ограничений для выбора количества пунктов:

 

  ρ< с ≤ (Эi х 365 х Инт прог) / Ri – Зсодi – Зстр/N –Кi – Псi – Ддi – Чпi .        (12)

Зшсодi+Зшстр/N

        

В зависимости от выбранного вида пунктов сбора платы будут различаться удельные затраты и, соответственно, их количество, необходимое для оптимальной средней продолжительности пребывания машины в системе (Ws), которая является одним из признаков привлекательности для пользователей платной автодороги.

Для обоснования экономической эффективности строительства платных объектов дорожного хозяйства предлагается использовать разработанные методы определения стоимости платных услуг, которые предусматривают определение оптимальной платы за проезд, приемлемой для пользователей и инвесторов и позволяющей реализовать проект в установленные договором концессии сроки.

Литература

1. Гасилов В.В. Экономико-математические методы и модели в строительстве. ВГАСУ, 1998 г.

2. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Кн. 2. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985.