ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ИНЖЕНЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ И ПРОФИЛЯ

 

Измеров М.А. (БГТУ, г. Брянск, РФ)

Тихомиров П.В. (БГИТА, г. Брянск, РФ)

 

Fractal dimension, being informative parameter, full enough describes difficult geometry of a engineering surfaces of details of machine and mechanisms. In the given work estimation methods fractal dimensions of a profile and three-dimensional engineering surfaces are considered, and also their comparative analysis is given.

 

Инженерные поверхности представляют собой мультифрактальные объекты, учитывающие макрогеометрию, шероховатость и субшероховатость. Поэтому в дополнение к известным по ГОСТ 2789-73 параметрам шероховатости следует использовать фрактальные показатели поверхности, в частности размерность D, которая является дробной.

Представление инженерной поверхности в виде фрактального объекта и использование компьютерных технологий позволяют упростить решение контактных задач с учетом шероховатости без потери точности оценок параметров контактного взаимодействия.

Целью работы является анализ существующих методик определения фрактальной размерности шероховатых поверхностей и их профилей, сравнение этих методик и их оценка, а также выдача рекомендаций по их использованию.

Оценивание фрактальной размерности профиля поверхности осуществляется следующим образом.

1. Метод отрезков (yardstick method) заключается в измерении выделенного фрагмента фрактальной кривой длиной L отрезками размером r. Число отрезков n, необходимых для измерения длины исследуемой кривой, концы которых находятся на профиле (рис. 1), нелинейно растёт с уменьшением длины отрезка r. Зависимость длины l=n*r от r в двойных логарифмических координатах позволяет вычислить фрактальную размерность профиля как .

Рисунок 1- Метод отрезков

 

Следует учесть, что данный метод применим только для самоподобных кривых. Для самоафинного профиля, следует учесть разные масштабы в вертикальном и горизонтальном направлениях профиля.

 

2. Метод покрытий очень похож на метод «yardstick» и отличается тем, что отрезок, которым измеряют длину выделенного фрагмента фрактальной кривой, лежит на ней, нигде не пересекая её, а лишь касаясь профиля. Пример метода покрытия представлен на рис. 2.

Рисунок 2- Метод покрытий

 

Как и в методе отрезков, в методе покрытий строят в двойных логарифмических координатах зависимость длины профиля l=n*r от числа покрытий r, откуда по углу средней линии графика определяют фрактальную размерность.

3. Метод нормированного размаха, или метод Хёрста. Суть метода Хёрста заключается в нахождении среднего выборочного значения высот профиля Х на исследуемой длине  L как . Тогда накопившееся отклонение высот профиля X(t) от среднего значения будет равно . Выражение для размаха имеет вид R(L)=max X(l,L)-min X(l,L).

Нормированный размах хорошо описывается степенной зависимостью , где H - показатель Хёрста, связанный с фрактальной размерностью как D = 2-H.

4. Определение фрактальной размерности по спектру мощности (рис.3) имеет вид , где P(ω) – функция спектра мощности, ω – частота, C_p – некоторая константа, S – наклон средней линии функции спектра мощности. Фрактальную размерность находят из наклона средней линии функции спектра мощности, которая в двойных логарифмических координатах становится линейной.

Рисунок 3- Метод спектральной плотности

 

Ещё больший интерес представляет определение фрактальной размерности инженерной поверхности. Существующие процедуры трёхмерного топографирования шероховатой поверхности позволяют создать map-карты - 3D модели инженерных поверхностей. Ниже представлены наиболее распространённые методы определения фрактальной размерности поверхности.

1. Определение фрактальной размерности изотропных и анизотропных поверхностей связано с рассмотрением форм образующихся «островов» при срезе поверхности горизонтальной плоскостью. Фрактальная размерность определялась из анализа соотношения «периметр-площадь» острова (рис.3).

Рисунок 3- Определение периметра и площади «острова»: N_p=92, N_A =157

 

С помощью метода покрытия острова квадратной сеткой с размером ячейки d найдём его периметр P=N_p*d  и площадь A^1/2=N_A*d, где N_p и N_A – соответственно число ячеек, покрывающих периметр P и площадь A. При уменьшении размера ячейки периметр и площадь растут. Наклон прямой ln(A) – ln(P), построенной в двойных логарифмических координатах, соответствует отношению 2/D. Тогда фрактальная размерность, определяемая по соотношению периметр-площадь, определяется по уравнению:

.

Фрактальная размерность поверхности по Б.Мандельброту равна:

D_S=D+1.

Результаты сравнительных исследований представлены в таблице 1.

 

Таблица 1- Сравнительная оценка методов

№	Тип обработки	D заданная	Оценка отрезками	Оценка покрытиями	Метод Хёрста	Спектральная плотность	Периметр-площадь
1	Фрезерование	1,3	1,295	1,283	1,279	1,289	2,42
2	Электроэррозионная	1,25	1,262	1,229	1,285	1,262	2,31
3	Точение чистовое	1,2	1,232	1,17	1,34	1,22	2,24

 

Наиболее точным и простым в использовании является метод спектральной плотности для определения фрактальной размерности профиля поверхности, и метод периметр-площадь – для определения фрактальной размерности 3D поверхности.

Методы, представленные в работе, позволяют определить фрактальную размерность инженерных поверхностей и их профилей, что с новых позиций позволит рассматривать вопросы моделирования контакта шероховатых поверхностей, процессов трения и протекания жидких сред через стык сопряжённых поверхностей, а также повысить точность расчётов, связанных с определением фактических пятен контакта и контактных давлений.