Применение метода конечных элементов в исследовании параметров  теплопроводности древесных материалов

 

Зажарнова Е.А., Котина Н.В., Титунин А.А.

(ГОУ ВПО КГТУ, г. Кострома, РФ)

 

Using the T-FLEX CAD analysis and finite elements performed thermal conductivity laminated and proven influence knots on temperature field in wood

 

Выбор метода исследования влияния сучковатости на параметры теплопроводности обусловлен сложностью процессов, протекающих в  брусе при приложении тепловой нагрузки.  В отличие от традиционного способа решения задачи, когда брус рассматривается как ортотропное тело однородной структуры, в данном исследовании учтена анизотропность  тепловых свойств бруса с учетом  неоднородности структуры, обусловленной наличием сучков. Сучки ввиду большей плотности и отличного от окружающей древесины расположения волокон обладают большей теплопроводностью, что учтено при математической формулировке задачи.

В общем случае теплопроводность ограждающей конструкции из клееного бруса при стационарном режиме описывается дифференциальным уравнением в частных производных:

=0

 и граничными условиями

+q+=0,

где λ_x , λ_y , λ_z – коэффициент теплопроводности древесины соответственно в радиальном, тангенциальном направлении и вдоль волокон;

l_x , l_y , l_z – направляющие косинусы вектора нормали к поверхности.

Решение данного уравнения эквивалентно минимизации функционала

 

χ=+.

Таким  образом, любое распределение температуры T(x,y,z), при котором функционал χ становится минимальным, является решением исходного уравнения теплопроводности. Однако, на характер этого распределения влияют ряд факторов, учесть которые можно  только путем применения метода конечных элементов.

Метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой известный численный метод решения системы дифференциальных уравнений, описывающих большинство физических процессов, в т.ч – процесс переноса тепла. Основная идея применения МКЭ заключается в том, что непрерывная величина, температура, аппроксимируется дискретной моделью, состоящей из множества  кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе элементарных областей, на которые разбивается исследуемая область (поверхность или пространство). Сами кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области [1].

Выбор МКЭ обусловлен следующим: во-первых, метод можно применять при исследовании неоднородных тел, в частности анизотропной древесины с сучками; во-вторых, метод позволяет описывать как прямолинейные области (ламели), так и криволинейные (сучки); в-третьих, размеры элементов могут быть переменными (вблизи сучков для более точной аппроксимации сеть разбиения исследуемой области делается мельче); в-четвертых, этот метод позволяет решать задачи со смешанными граничными условиями.  Главным недостатком МКЭ длительное время являлась необходимость разработки вычислительных программ и применение ЭВМ. В настоящее время эта проблема решена [2].

Для анализа влияния сучковатости ламелей на теплопроводность клееного бруса, в частности – определения температуры, возникающей в изделии при воздействии приложенных к системе источников тепловой энергии, предлагается использовать модуль тепловых расчетов T-FLEX Анализ. Для решения задачи строится трёхмерную модель, а затем  осуществляется генерация сеточной конечно-элементной модели клееного бруса или его отрезка.  Генерация сеточной модели предусматривает создание конечно-элементной сетки, отражающей геометрию изделия и наложения граничных условий, определяющих содержание физической задачи.  Поскольку  T-FLEX Анализ ориентирован на решение физических задач в объёмной постановке, то рациональным решением по описанию геометрии анализируемой детали является тетраэдальный конечный  элемент (рис. 1).

Рисунок 1 –  Тетраэдальные конечные элементы:

а) линейный, четырехузловой; б) квадратичный, десятиузловой

 

Вид конечно-элементной сетки  применительно к разработанной модели клееного бруса представлен на рис. 2 а.

 

                       а                                                                        б

Рисунок 2 – Пространственная модель элемента клееного бруса: а – конечно-элементная сетка; б – расположение сучков в ламелях

 

 После построения конечно-элементной сетки задается тепловая нагрузка, приложенная к внутренней поверхности,  а на противоположной внешней теплоотводящей  поверхности определено граничное условие «Конвективный теплообмен» с температурой конвекции. Для предварительного анализа принята пятислойная конструкция отрезка клееного бруса, наружные ламели которого выполнены без сучков (сорт А), внутренние содержат по одному сучку диаметром 35 мм. Взаимное расположение сучков в ламелях представлено на рис. 2 б.

На следующем этапе расчётов осуществляется генерация расчётных систем уравнений и их решение. Результатами работы конечно-элементного процессора являются значения искомой целевой функции.

В данном случае был выбран нестационарный процесс и заданы параметры временного анализа: время моделирования – 120  мин, шаг моделирования –  5 мин., начальная температура модели –  20 ^оС.  В результате нестационарного расчета получены температурные поля в различные моменты времени в пределах заданного временного интервала. В качестве примера на рис.  3.  представлена визуализация результатов расчетов, откуда видно, что  сучки, содержащиеся во внутренних ламелях, способствуют более интенсивному изменению температуры. Причем, чем ближе сучок к поверхности бруса, тем более явно заметно изменение температуры.

Таким образом,  реализация метода конечных элементов в среде T-FLEX позволяет наглядно представлять результаты  исследований влияния геометрических параметров сучковатости ламелей на параметры теплопроводности клееного бруса.

Рисунок 3 – Температурные поля в клееном брусе через 6900 с.

 

 

Литература

1.        Сегерлинд. Л. Применение метода конечных элементов : пер. с англ. / Под ред. д-ра физ.-мат. наук Б. Е.  Победри. – М. : Мир, 1979. – 392 с.

2.        Тепловые расчеты в среде T-FLEX Анализ / П. Ануфриков,  С. Козлов,  А. Сущих //САПР и графика. – 2010. – №11. [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://www.sapr.ru/Article

 

С использованием САПР « Т-FLEX Анализ» и метода конечных элементов выполнено исследование теплопроводности клееного бруса и доказано влияние сучков на характер температурного поля в древесине