ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ЛЕСОСПЛАВНОЙ ЕДИНИЦЫ

 

Барабанов В.А. (С(А)ФУ, г. Архангельск, РФ)

 

In article the rotary motion equation rafting units on a water surface, one of methods of its decision, and also definition of the moment of inertia rafting units is considered in the various ways.

 

Любое движение лесосплавной единицы на поверхности воды состоит из поступательного  и вращательного движений  вдоль или относительно  соответствующих осей. Лесотранспортную единицу будем рассматривать как твердое тело. Особый интерес  для практики представляет вращательное движение единицы относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела или вне его.

Уравнение вращательного движения лесотранспортной единицы представили в виде

І d²φ /dt² = - λ d²φ /dt² – M _С  ± _ΔM ± M_П,          (1)

где  І – осевой момент инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс; φ – угол поворота тела; t – время поворота; λ – момент инерции присоединенных масс относительно той же оси (присоединенный момент инерции); M _С – стационарная часть гидродинамического момента сил сопротивления воды при скорости, равной мгновенной скорости равномерного вращательного  движения (по  гипотезе стационарности); _ΔM – часть гидродинамического момента, связанная с нестационарностю поля скоростей потока, обтекающего тело при неустановившемся движении, (нестационарная часть гидродинамического момента); M_П – момент внешних сил, действующих на тело относительно оси вращательного движения.

Присоединенный момент инерции λ и нестационарная часть гидродинамического момента _ΔM  переменные величины, зависящие от предистории движения, режима обтекания тела и других факторов.

Существует несколько способов решения уравнения (1). Некоторые исследователи используют теоретические методы определения присоединенного момента инерции (заменяя исследуемое тело параллелепипедом, эллиптическим цилиндром, эллипсоидом вращения различного удлинения) по имеющимся  в литературе формулам и графикам (гипотеза локальности). Нестационарную часть  гидродинамического момента  при этом определяют экспериментально или не учитывают ее.

Мы использовали  и показали возможность использования гипотезы стационарности и понятий присоединенная масса и присоединенный момент инерции при теоретическом и экспериментальном изучении вращательного и криволинейного движений лесотранспортных единиц  (пучок, ряд пучков, плоская сплоточная единица) на поверхности воды.

При изучении вращательного движения лесотранспортной единицы уравнение (1) преобразовали следующим образом

І ( 1 + n ) d²φ /dt²  = - M _С ± M_П ,                       (2)

где   n – коэффициент нестационарности, определяемый выражением

                 n = (- λ + _ΔM d²φ /dt²  )/ І.                             (3)                   

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадрат расстояний точек от этой оси.

І = Σm_ir_i²                                                                                                     (4)

Осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т.е. осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Радиусом инерции тела относительно вертикальной оси называется линейная величина r_и , определяемая равенством 

І = m r_и ²,                                                            (5)

где m – масса тела.

Радиус инерции геометрически равен расстоянию от  вертикальной оси до той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки  был равен моменту инерции всего тела.

Момент инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей вне тела, определяется по теореме Гюйгенса, по которой момент инерции относительно данной оси равен моменту инерции  тела относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы  на квадрат расстояния между осями

І_о = І + m R².                                                      (6)

Для определения момента инерции твердого тела Гаусс предложил подвешивать тело на нитях расположенных по образующим произвольного кругового цилиндра. Если модели, подвешенной на двух параллельных нитях, каждая из которых удалена на расстояние R от центра масс, сообщить вращательные колебания относительно вертикальной оси , то искомый момент инерции определится по выражению

І_м = Т_крG R² / 4πℓ,                                                       (7)

где Т_кр – период полного колебания модели; G – ее вес; ℓ - длина нити.

При этом целесообразно длину нитей проверять путем качания той же модели относительно точек подвеса. Если через Т_кач обозначить период такого полного колебания, то согласно теории маятника

ℓ = Т_кач g /4π²,                                                     (8)

где g – ускорение свободного падения.

Мы использовали данный способ для определения момента инерции модели пучка из бревен. Были изготовлены четыре модели пучка в масштабе 1/20 натуры разных габаритных размеров и массы. Подвеска моделей пучков проводилась на двух нитях. Расстояние между нитями 2R= 20 см. С каждой моделью опыт кручения  повторяли семь раз. Длину нитей проверяли семикратным  качанием моделей. Результаты экспериментального определения момента инерции моделей сведены в таблицу, где для сравнения приведены данные по определению момента инерции тех же моделей пучков по некоторым теоретическим формулам и зависимостям.

Определение момента инерции модели пучка бревен теоретически:

схематизируя его параллелепипедом

 І =  m ( В² + L² )/12;                                            (9)

схематизируя его  эллиптическим цилиндром

І   = m ( В²/4 + L²/3) /4.                                               (10)

В формулах (9) и (10)   m-масса модели, В и L – соответственно ширина и длина.

Для определения момента инерции судов относительно вертикальной оси, проходящей через мидель (середину) предложено несколько эмпирических формул:

формула Сторожева Н.Ф. , получена на основании расчетов по 21 судну, без учета присоединенной массы

І = (( α² L²/14,6) + В²/12) D/g,                            (11)

где D- весовое водоизмещение судна; α-коэффициент полноты площади ватерлинии;

L и В – соответственно длина и ширина судна;

формула Рыжова Л.М. и Соларева Н.Ф.

І = m_с ( L² + В² ) /20,                                 (12)

где m_с – масса судна, D/g;

формула Войткунского Я.И., Першица Р.Я., Титова И.А.

І = 0.05 ρV L²,                                          (13)

где  ρ – плотность воды; V –объемное водоизмещение судна.

 

Таблица - Результаты определения момента инерции моделей

№ пучка	Н,см	m,кг	Ткр,с	ℓ,м	Імкгм2 * 103	І9 кгм2 * 103	І10  кгм2 * 103	І11  кгм2 * 103	І12 кгм2 * 103	І13 кгм2 * 103
1   2   3   4	0.05   0.10   0.12   0.15	0.61   2.03   2.34   3.07	4.50   4.37   4.54   4.51	3.37   3.34   3.63   3.43	8.97   28.44   32.48   44.25	7.28   24.27   27.91   36.41	6.78   22.60   26.00   33.91	6.34   21.20   24.33   31.68	4.37   14.56   16.75   21.84	3.17   10.56   12.15   15.84

                                                                                                                 

Примечание : ширина пучка В = 0.20 м; длина пучка L= 0.325 м, І_м, І₉, І₁₀, І₁₁, І₁₂, І₁₃ – соответственно моменты инерции моделей, определенные экспериментально и по формулам (9), (10), (11), (12), (13)

Из таблицы видно, что формулы (12) и (13) для  определения момента инерции пучков из бревен дают заниженные результаты и не пригодны для использования.    

Способом подвешивания тела на нитях возможно определять момент инерции несимметричных тел, например, пачки  и пучка из хлыстов, сбежистых бревен, уложенных в одну сторону.