МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО РАБОЧЕГО ОРГАНА ВО ВРЕМЯ РАБОТЫ ПРУЖИННОЙ МЕЛЬНИЦЫ
Кургузиков А.М., Волков Н.В. (ГУВПО«Бел.-Рос. ун-т», г. Могилев, РБ)
In the article have been considered questions of influence of fluctuations of a rotating spring working body for work of a spring mill, the mathematical by definition of amplitude of cross-section fluctuations is made.
Колебания – это неотъемлемая часть любого динамического процесса, происходящего в системе.
Определение поперечных колебаний с помощью математических формул сопряжено с определенными трудностями, главной из которой является сложная геометрия изогнутой пружины и трудность ее описания в процессе решения.
Существует несколько методик расчета колебаний пружин. Среди них: метод эквивалентного бруса и метод пространственного стержня, которые предназначены для решения задач о поведении упругого элемента.
Первый метод является упрощенным, однако для расчета “плоских” колебаний этот метод дает неплохие результаты. Второй метод является более сложным по сравнению с методом эквивалентного бруса т.к. при решении задачи данным методом упругий элемент представляется в виде пространственной кривой. Это приводит к тому, что становится сложно разделить колебания на изгибные, крутильные и продольные. Решения уравнений, полученных данным методом, необходимо будет рассматривать, как некую совокупность колебаний, что улучшает качество результатов, но значительно усложняет обработку результатов и непосредственный процесс решения.
Во время работы пружинной мельницы, вращающийся рабочий орган совершает поперечные и продольные колебания, величина которых зависит от частоты вращения рабочего органа, его жесткости и влияния обрабатываемого материала.
Для анализа влияния колебаний на работу мельниц, рассмотрим следующие условия работы рабочих органов: пружинный рабочий орган в мельнице без рабочей камеры в монтажном положении, пружинный рабочий орган в мельнице с рабочей камерой без материала, пружинный рабочий орган в мельнице с рабочей камерой с измельчаемым материалом.
При работе пружинного рабочего органа в мельнице без рабочей камеры в монтажном положении, происходит его значительное отклонение от оси вращения в поперечном направлении при увеличении частоты вращения, что приводит к значительным перегрузкам крайних витков рабочего органа. В результате этого образуются усталостные трещины, которые снижают срок эксплуатации пружины.
Во время работы пружинного рабочего органа в мельнице с рабочей камерой без материала, интенсивность колебаний снижается за счет периодических ударов рабочего органа о корпус камеры. От соприкосновения со стенками пружинный рабочий орган быстро разогревается и в основном увеличивается износ наружной поверхности его центральных витков, что снижает срок службы, а в дальнейшем значительно засоряет пробу измельчаемого материала материалом пружины и камеры. За счет контактного износа наружных поверхностей витков и уменьшения площади сечения, значительно снижается жесткость и межвитковое усилие всего пружинного рабочего органа, а соответственно, и интенсивность обработки материала.
При работе пружинного рабочего органа в мельнице с рабочей камерой с измельчаемым материалом, происходит существенное уменьшение амплитуды колебаний рабочего органа, что приводит к увеличению его срока службы. Однако, за счет сильного абразивного износа рабочих поверхностей витков, происходит уменьшение сечения витков пружины, что приводит к увеличению межвиткового зазора, снижению жесткостных характеристик пружинного рабочего органа и снижению усилия обжатия. В результате снижается эффективность использования пружинного рабочего органа.
Кроме того, необходимо избегать резонансных режимов работы пружинных рабочих органов, т.к. все процессы при этих режимах становятся неуправляемыми, что резко снижается срок службы не только пружин, но и других важных элементов мельницы.
Математические модели имеют то преимущество, что они учитывают свойства технической системы. Но модели сложных технических объектов, в данном случае пружинного рабочего органа, представляют собой системы нелинейных дифференциальных уравнений. Однократное решение такой системы на ЭВМ требует значительных затрат машинного времени. Следует при этом учитывать, что оптимизационные алгоритмы требуют выполнения множества итераций, количество которых может достигать второго и третьего порядков, причем, на каждой итерации решается исходная система дифференциальных уравнений.
Геометрия пружины в недеформированном состоянии полностью описывается геометрией винтовой оси и формой поперечного сечения проволоки или прутка, из которого навита пружина.
Для составления математической модели определения поперечных колебаний изогнутого в опорах пружинного рабочего органа, представим отдельные витки пружины в виде замкнутых колец с возникающими между ними упругими и диссипативными связями.
Каждый виток, с учетом его положения в пространстве, опишем системой дифференциальных уравнений. При составлении совокупной системы уравнений, упрощенно рассмотрим только одну половину пружины, так как вторая половина описывает симметричные процессы.
Упрощенную динамическую модель определения поперечных колебаний изогнутого и вращающегося в опорах пружинного рабочего органа изобразим на рисунке 1.
Рисунок 1 - Упрощенная динамическая модель определения поперечных колебаний изогнутого и вращающегося в опорах пружинного рабочего органа
Математическую модель представим в виде совокупности нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих колебательный и вращательный процесс пружины в монтажном положении с учетом упругих и диссипативных связей.
(1)
где Wi –частота вращения витка;
Mupri – момент упругости витка;
Мi – внешний момент на виток пружинного рабочего органа;
Mi+1 – момент, необходимый для гашения колебаний витка;
C1 – поперечная жесткость пружины;
I – момент инерции;
µ1 - коэффициент сопротивления.
Решение совокупной системы уравнений производим с использованием пакета программ MathCad по методу Рунге Кутта четвертого порядка. Преимуществами этого метода является то, что он является одноступенчатым и одношаговым, требует информацию только об одной точке, имеет небольшую погрешность, и, кроме того, значение функции рассчитывается при каждом шаге.
Суть данного метода заключается в том, что вектор – функцию правых частей системы дифференциальных уравнений (1) определяют не только в основных, но и в промежуточных точках интервала [t k, t k+h] на каждом шаге интегрирования. Это позволяет учесть изменение производной на интервале шага, что приводит к повышению порядка точности алгоритма интегрирования.
Алгоритм реализации метода Рунге Кутта четвертого порядка представлен на рисунке 2.
Рисунок 2 - Алгоритм реализации метода Рунге-Кутта четвертого порядка
На основании полученных результатов, получаем значения амплитуды колебания любого интересующего витка в данный момент времени и строим необходимые графики зависимостей.
Данная методика позволяет варьировать различными геометрическими параметрами пружины, что играет немаловажную роль при расчете и проектировании аппаратов с пружинным рабочим органом.
С помощью данной методики имеется возможность разработки математической модели для определения амплитуды продольных и крутильных колебаний пружинного рабочего органа, составив необходимые системы нелинейных дифференциальных уравнений.