ПОСТРОЕНИЕ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛОВ ПОВОРОТОВ СЕЧЕНИЙ

 

Фирсов Г.И., Суслов В.Н.

(Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г.Москва, РФ)

 

Is examined the procedure of the construction of the forms of the oscillations of the machine-building construction, represented as the system of solid bodies. Relationships for the dispersion of the angle of rotation of section are given

 

С точки зрения построения форм колебаний в первом приближении разделим конструкции машин на два класса. В первый класс входят конструкции, при колебаниях которых происходят смещение отдельных частей машины как абсолютно твердых тел за счет контактных деформаций в стыках. К другому классу относятся механические системы, при колебании которых проявляются собственные упругие (продольные, крутильные, изгибные) деформации элементов системы. Для построения форм колебаний систем, относящихся к первому классу, необходимо определять относительные положения ее элементов в пространстве. Для простоты рассмотрим движение тела в каждой координатной плоскости отдельно как плоскопараллельное. Тогда задача сводится к изучению движения плоской фигуры в плоскости. Перемещение плоской фигуры в ее плоскости за промежуток времени DT может быть получено поворотом ее на угол Dj около некоторого центра, называемого центром конечного вращения. Если направления скоростей точек твердого тела А и В параллельны, то центр конечного вращения находится на пересечении прямых, проходящих через начала и концы векторов скоростей этих точек. Если скорости точек А и В равны, то центр вращения лежит в бесконечности. В этом случае фигура движется поступательно, т.е. без вращения. Чтобы выявить форму колебаний объекта, необходимо для каждого жесткого тела в каждой координатной плоскости на интересующей нас частоте определить угол поворота и положение центра конечного вращения.

Угол поворота и положение центра вращения определяются виброперемещениями пары точек тела, в которых колебания измеряются в направлении, не совпадающем с линией, проходящей через эти две точки. Тогда выражения для углов поворота в синфазной форме колебаний имеют вид

                                           (1)

Здесь A_xi, A_yi, A_zi, A_xj, A_yj, A_zj - проекции амплитуд колебаний i-й и j-й точек тела в направлении соответствующих координатных осей; x_i, y_i, z_i и x_j, y_j, z_j - координаты i-й и j-й точек тела; q_1i, q_1j - фазовые углы между колебаниями первой (опорной) точки и соответственно i-й и j-й точками тела.

Для квадратурной формы колебаний во всех выражениях cos q необходимо заменить на sin q. В приведенных выражениях разности координат в знаменателе определяют расстояние между точками твердого тела.

Соотношения для расчета положения центра конечного вращения в синфазной форме колебаний, например в плоскости xoy, имеют вид

Положение центра конечного вращения квадратурной формы колебаний определяется приведенными выше выражениями с заменой функции cos q на sin q.

Таким образом, форма колебаний конструкции, состоящей из абсолютно твердых тел, смещающихся относительно друг от друга за счет контактных деформаций в стыках, отображается мгновенными положениями на координатных плоскостях этих тел, при этом каждое тело имеет свой угол поворота и центр конечного вращения.

Так как собственная форма характеризует конфигурацию механической системы, то масштаб для углов поворота тел при графическом изображении формы может быть выбран произвольно из условия максимальной наглядности изображения. Чтобы придать полную определенность каждой из собственных форм, т.е. выявить и распознать формы колебаний сложной механической системы, необходимо масштаб изображения для всех форм колебаний данной системы оставлять неизменным.

Контур тел в положении равновесия вычерчивается тонкими линиями, затем в масштабе вычерчивается контур каждого тела, повернутого на угол j_j. Контур тел в положении равновесия вычерчивается тонкими линиями, затем в масштабе вычерчивается контур каждого тела, повернутого на угол j_j.

В соответствии с изложенной методикой для построения формы колебаний одного твердого тела в одной координатной плоскости необходимо располагать тремя векторами виброперемещений тела.

Общее число точек системы, в которых необходимо проводить измерение колебаний, определяется по формуле N_точ ³ 3N_тел n_xyz , где N_тел - число абсолютно твердых тел, входящих в колебательную систему; n_xyz - число координатных плоскостей, в которых определяются формы колебаний.

Видно, что разработанная методика требует некоторой избыточности точек измерения колебаний по сравнению с числом степеней свободы системы. Устранить указанную избыточность можно за счет рассмотрения пространственной картины колебаний системы.

Для детализации особенностей колебаний реальной конструкции в координатной плоскости представляется целесообразным дополнительно увеличить число точек измерения колебаний. При этом можно определить и сравнить углы поворота различных сечений тела, т. е. оценить наличие собственных упругих деформаций тела, наличие местных деформаций, например отгиб фланцев и т. п., а также провести оценку достоверности полученных результатов анализа.

Например, при равенстве или близости углов поворота и координат центров вращения нескольких тел, контактирующих в стыках, колебания данной формы представляют собой поворот контактирующих тел как одного твердого тела; при монотонном убывании углов поворота сечений по мере их приближения к стыку колебания обусловлены собственными изгибными деформациями тела; при значительном расхождении амплитуд колебаний или углов поворота соседних точек проявляются местные деформации элементов конструкции либо возникает значительная погрешность измерения сигнала. результирующее общее число точек измерения и их расположение при построении форм колебаний механической системы определяются конструкцией системы, степенью детализации, требуемой точностью анализа, причем число точек должно быть не менее N_точ.

Чтобы исключить влияние на угол поворота угла закручивания вокруг других координатных осей, необходимо пары векторов располагать в одной и той же координатной плоскости. Для повышения точности определения углов поворота точки измерения рекомендуется размещать на ребрах тела (максимально близко к ребрам), при этом достигают наибольшего расстояния между точками, что повышает точность определения углов поворота.

Таким образом, для построения форм колебаний механической системы по экспериментальным данным необходимо определить амплитудные и фазовые значения колебательных процессов в различных точках конструкции, причем в качестве измеряемой кинематической характеристики колебательного процесса в этих точках может быть либо виброперемещение (x), либо виброскорость (), либо виброускорение ().

Для получения правильной размерности углов поворота (в радианах) необходимо на исследуемых частотах колебаний f выполнить соответствующий пересчет

Очевидно, что наибольшую ценность для исследований представляет картина динамического поведения системы в реальных условиях без искусственных воздействий. Поэтому, принимая во внимание случайный характер процесса колебаний машин и механизмов, целесообразно воспользоваться аппаратом теории случайных функций.

При этом значения амплитуд и фаз наблюдаемых колебаний определяются как статистические оценки параметров случайного процесса с соответствующей степенью рассеяния.

Найдем выражение дисперсии угла поворота сечения, который при колебаниях конструкции определяется по формуле (1). В первом приближении примем, что:

а) координаты точек системы x(y, z) заданы своими точными числовыми значениями;

б) значения cos j, ввиду близости фазы 0° или 180° и вследствие этого малого влияния рассеивания фазы j на cos j, определяется своими точечными числовыми значениями.

Отсюда следует, что дисперсия угла поворота q обусловлена только рассеиванием значений амплитуд A.

Тогда с учетом выражения для дисперсии системы случайных величин, являющихся функциями нескольких случайных величин имеем:

где D[ ] - дисперсия величины, заключенной в [ ]; K_M[ ] - корреляционный момент величин, заключенных в [ ].

Корреляционный момент является ненормированным коэффициентом корреляции, который в свою очередь для амплитуд колебаний двух процессов на данной частоте f выражается значением функции когерентности k_f этих процессов на частоте f. Поэтому можно записать

Здесь  - среднеквадратическое значение амплитуд колебаний.

Полученное выражение позволяет оценить точность определения угла поворота сечения в процессе колебаний.

Например, если , то дисперсия оценки  Примем также, что нормированная стандартная ошибка оценки амплитуд равна  Тогда нормированная стандартная ошибка оценки угла поворота

т.е. ошибка определения угла поворота всегда превышает (при  равна) ошибку определения амплитуды, причем это превышение тем больше, чем ближе значения измеряемых амплитуд в точках системы i и j.

Для повышения точности построения формы колебаний необходимо стремиться не только к размещению точек измерений на наибольшем расстоянии друг от друга, но также к тому, чтобы ожидаемый центр вращения P по возможности помещался между точками измерений колебаний.