АЛГОРИТМЫ СИНТЕЗА ИСПЫТАТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ВИБРОИСПЫТАНИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

 

Фирсов Г.И. (ИМАШ РАН, г. Москва, РФ)

 

The simulation of the dynamics of machine-building constructions, the experimental study of dynamic characteristics and vibrational testing of systems are carried out in the majority of the cases on the basis of known information about the acting disturbances at the entrance. In this case are solved the interrelated problems of the selection of more expedient test signal and selection of the effective method of the analysis of signals at the entrance and the output, i.e., the application of one method or another of information processing is closely related to the selection of the form of test signal.

 

Моделирование динамической нагруженнности машиностроительных конструкций, экспериментальное изучение динамических характеристик и виброиспытания систем выполняются в большинстве случаев на основе известной информации о действующих возмущениях на входе. При этом решаются взаимосвязанные задачи выбора более целесообразного испытательного сигнала и выбора эффективного метода анализа сигналов на входе и выходе, т.е. применение того или иного метода обработки информации тесно связано с выбором вида тест-сигнала [1, 2]. Сравнительными критериями такого выбора являются длительность, трудоемкость, энергоемкость, и стоимость испытаний всех объектов в заданных режимах, а также длительность, стоимость и точность получения результатов обработки экспериментальной информации. К числу типовых тест-сигналов относятся импульсное, моногармоническое со сканирующей частотой, случайное узкополосное и широкополосное воздействия. Но в каждом случае виброиспытаний объекта важно задавать и, при необходимости, легко изменять конкретные параметры выбранного воздействия. Для этих целей представляется удачной достаточно простая и универсальная модель входного воздействия на основе модели аналитического сигнала [3].

Переходя первоначально к синтезу узкополосного случайного сигнала на основе случайной модуляции амплитуды и частоты

                                                                                           (1),

напомним, что требуемая дисперсия сигнала должна быть равна сумме дисперсии и квадрата математического ожидания огибающей  а требуемая эффективная ширина спектрального пика - сумме дисперсий мгновенной частоты и производной огибающей  где  - дисперсия скорости изменения мгновенной амплитуды. Точная форма спектрального пика сигнала при этом не задается.

Рассмотрим вопросы генерации двух модулирующих функций времени: медленной мгновенной амплитуды и мгновенной частоты. Простейшим способом генерации медленного случайного нормального процесса, в данном случае огибающей a_i, является фильтрация исходного случайного нормального процесса с помощью фильтра в виде например авторегрессионной (АР) модели [4], первого порядка: a_i = F₁a_i-1 + x_i, где F₁ - параметр АР-модели (для стационарных процессов этот параметр, неизменный во времени,  характеризует скорость изменения мгновенной амплитуды процесса), x_i - случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (). Процесс на выходе АР-модели первого порядка имеет спектральную плотность вида  большая часть интенсивности которой при 0 _ F₁ < 1 сосредоточена на низких частотах с монотонным уменьшением интенсивности по мере роста частоты, причем наклон (крутизна) спектра растет с увеличением значения параметра F₁. Автокорреляционная функция процесса на выходе АР-модели первого порядка имеет вид K(t) = F₁^_t_. Используя последнее выражение, оценим относительную дисперсию производной огибающей сигнала в долях от частоты дискретизации Dt^-1 по формуле  

Генерация случайной огибающей требует также обеспечения заданных закона распределения и дисперсии, что выполняется с помощью нелинейного безинерционного преобразования случайных процессов на основе обратной функции связи. Например, для закона Рэлея с дисперсией  формула формирования соответствующей мгновенной амплитуды имеет вид  где P( ) - интегральная функция нормального распределения. Таким образом, полученная медленная случайная функция модуляции амплитуды будет удовлетворять заданным закону распределения, дисперсии и ширине спектрального пика. При формировании случайной мгновенной частоты сигнала важнейшим требованием является обеспечение заданного закона распределения и дисперсии. Спектр мгновенной частоты не оказывает существенное влияние на спектр сигнала, поэтому для формирования мгновенной частоты можно принять простейший, например нормальный закон распределения с дисперсией , без предварительной фильтрации модулирующей функции.

Задача синтеза многомерного сигнала предполагает формирование нескольких случайных колебательных процессов, имеющих заданные взаимные характеристики, главным образом, фазовые соотношения. Чтобы получить желаемые фазовые соотношения между одномерными сигналами, достаточно дополнить выражение для одномерного случайного модулированного сигнала (1) его начальной фазой j_0l:  У такого многомерного сигнала модулирующая функция изменения мгновенной частоты одинакова, а функция изменения огибающей может отличаться масштабным множителем. В результате будет обеспечена высокая когерентность между отдельными l компонентами многомерного сигнала.

Чтобы перейти к синтезу одномерного колебательного процесса с заданными свойствами, необходимо также выбрать определенное соотношение дисперсий в суммарной эффективной ширине спектрального пика. В первом приближении можно, например, условиться, что амплитудная и частотная модуляции вносят равный вклад в ширину спектрального пика узкополосного процесса. Тогда получаем следующее соотношение   В задаче синтеза одномерного случайного узкополосного колебательного процесса исходными задаваемыми параметрами являются: закон распределения значений процесса p(x), его дисперсия , центральная частота f₀ и ширина спектрального пика Df. Определяются: закон распределения огибающей p(A), ее дисперсия , параметр АР-модели F₁ и дисперсия мгновенной частоты .

Например, для получения нормального узкополосного процесса имеем закон распределения Рэлея,  = (2- p/2) , F₁ ® 1,  = 0,5Df². Дальнейшее увеличение дисперсии мгновенной частоты  и уменьшение параметра F₁ приведет к увеличению ширины пика спектра, т.е. к формированию широкополосного сигнала. Наличие гармонической составляющей A₀ в амплитудно-модулированном процессе вида x(t) = [A₀ + A(t)] cosw₀t приведет к возникновению в спектре острого дискретного пика на случайном пьедестале, причем ширина этого пьедестала будет определяться дисперсией скорости мгновенной амплитуды. Варианты синтезируемых сигналов определяются в зависимости от параметров модели вида

                                                                (2)

За счет вариации исходных пяти параметров модели (2) легко обеспечить формирование сигнала любого вида: моногармонического, суммы гармоники со случайным пьедесталом, случайного узкополосного и случайного широкополосного (низкочастотного и в ограниченной полосе частот). Если вместо случайных, использовать для модулирующих функций различные детерминированные функции времени, то на основе модели (2) можно получить варианты нестационарных сигналов, например со сканирующей центральной частотой или изменяющейся амплитудой.

Случайный колебательный процесс, модулированный по амплитуде и частоте, может иметь заданную спектральную плотность. Для этого необходимо осуществить специальное формирование сигнала с заданной величиной дисперсии в каждой полосе частот. Другими словами, сигнал с заданной спектральной плотностью есть множество узкополосных сигналов с определенными характеристиками. Задача построения такого множества сигналов во времени означает выбор определенной последовательности чередования узкополосных сигналов друг за другом. При этом само чередование сигналов должно происходить достаточно медленно, чтобы в пределах каждой полосы спектра обеспечивались условия квазистационарности сигнала.

Пусть имеется реализация узкополосного процесса на интервале времени Dt_i и в i-ой полосе частот Df_i = f_{max i} – f_{min i} с медленно меняющейся центральной частотой, скорость изменения которой  не позволяет выйти центральной частоте за пределы своей полосы в течение соответствующего интервала времени:  Тогда при равномерном разбиении спектральной плотности и суммарной длительности T всего сигнала получаем следующую оценку сверху для средней скорости изменения центральной частоты  Соответствующую медленность изменения центральной частоты можно обеспечить фильтрацией АР-фильтром, например первого порядка, а изменение центральной частоты целесообразно осуществить по случайному, например равномерному закону. Величина дисперсии и ширина полосы сигнала будут определяться заданной спектральной плотностью. В результате для каждой полосы получим параметры соответствующего узкополосного колебательного процесса.

 

Литература

1. Добрынин С.А., Фельдман М.С., Фирсов Г.И. Методы автоматизированного анализа вибрации машин. - М.: Машиностроение, 1987. - 221с.

2. Автоматизированная система ускоренных испытаний автомобильных конструкций / М.С. Высоцкий, А.А Ракицкий, М.И. Горбацевич и др. – Минск: Наука и техника, 1989. – 168 с.

3. DeFatta D.J., Lucas J.G., Hodgkiss W.S. Digital Signal Processing: A System Design Approach. - New York et. al., Wiley, 1988. - 661 p.

4. Марпл –мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. – М.: Мир: 1990. – 584 с.