МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ СОСТАВА КРАСИТЕЛЯ ДЛЯ ХВОЙНОЙ ДРЕВЕСИНЫ

 

Чижова М.А. (Лф СибГТУ, г.Лесосибирск, РФ)

 

Mathematical models of the process of the dyeing are brought In article for installing optimum parameter dying composition.

 

При однокритериальной оптимизации состава красителя в качестве критериев оптимизации поочередно выбираем:

-вязкость (Y₁);

-цвет (Y₃);

-поверхностное натяжение (Y₄).

Математическая модель оптимизационной задачи по минимизации вязкости имеет следующий вид

 

Y1 = 13,6787 - 0,2612Х1 - 0,3323Х2 - 0,5729Х3 + 0,0056Х12 +
0,0089Х1Х2 + 0,0093Х1Х3 + 0,0114Х22 + 0,0133Х2Х3 + 0,0351Х32	(1)
10  Х1  30;    3  Х2  17;    1  Х3  9

 

В результате решения данной задачи методом Ньютона получены оптимальные параметры состава, обеспечивающие минимальную вязкость:

-         Х₁ -содержание ПВА, г: 14

-         Х₂ -содержание пигментной пасты, г: 6

-         Х₃  -содержание ПАВ, г: 3

Вязкость красящего состава будет равна 9,34с.

Математическая модель оптимизационной задачи по минимизации диффузной составляющей цвета покрытия имеет вид

Y3 = 78,8212 – 0,3215Х1 – 0,4128Х2  + 1,1247Х3 + 0,0043Х12 –
0,0017Х1Х2 – 0,0031Х1Х3 – 0,0012Х22 – 0,0223Х2Х3 – 0,0664Х32	(2)
10  Х1  30;    3  Х2  17;    1  Х3  9

 

В результате решения и декодирования данной задачи получены следующие оптимальные параметры

-         Х₁ -содержание ПВА, г: 25

-         Х₂ -содержание пигментной пасты, г: 17

-         Х₃  -содержание ПАВ, г: 1

Значение диффузной составляющей цвета покрытия равно 66.

Математическая модель оптимизационной задачи, минимизирующей поверхностное натяжение:

Y4 = 67,6206 – 0,3888Х1 + 1,3159Х2 – 5,9033Х3 + 0,0156Х12 +
0,0160Х1Х2 – 0,0593Х1Х3 – 0,0599Х22 – 0,0848Х2Х3 + 0,5664Х32	(3)
10  Х1  30;    3  Х2  17;    1  Х3  9

 

Минимальное поверхностное натяжение - 48 мДж/м² – будет получено при следующих параметрах:

-         Х₁ -содержание ПВА, г: 13

-         Х₂ -содержание пигментной пасты, г: 3

-         Х₃  -содержание ПАВ, г: 6

Полученные результаты позволяют определять оптимальные составляющие красителя при любом из рассмотренных критериев оптимальности.

Оптимизационная задача при следующих математических моделях

Y1 = 13,6787 - 0,2612Х1 - 0,3323Х2 - 0,5729Х3 + 0,0056Х12 +
0,0089Х1Х2 + 0,0093Х1Х3 + 0,0114Х22 + 0,0133Х2Х3 + 0,0351Х32	(4)

 

Y2 = 174,3120 – 1,0317Х1 – 34,7325Х2 – 39,2257Х3 – 0,1568Х12 +
1,0303Х1Х2 + 0,8406Х1Х3 + 1,0165Х22 + 0,9330Х2Х3 + 2,0507Х32	(5)

 

Y3 = 78,8212 – 0,3215Х1 – 0,4128Х2  + 1,1247Х3 + 0,0043Х12 –
0,0017Х1Х2 – 0,0031Х1Х3 – 0,0012Х22 – 0,0223Х2Х3 – 0,0664Х32	(6)

 

Y4 = 67,6206 – 0,3888Х1 + 1,3159Х2 – 5,9033Х3 + 0,0156Х12 +
0,0160Х1Х2 – 0,0593Х1Х3 – 0,0599Х22 – 0,0848Х2Х3 + 0,5664Х32	(7)

 

10  Х1  30;    3  Х2  17;    1  Х3  9
9Y111;    26Y2467;     66Y371;    48Y455

 

решается методом уступок, когда поочередно один из критериев оптимальности выбирается в качестве важнейшего, а на все остальные критерии накладываются ограничения с уступкой от наилучших из значений, взятых из однокритериальной оптимизации, на 10%. 

Результаты представлены в табл.1.

 

Таблица 1 - Результаты оптимизации красящего состава методом уступок

	Х1	Х2	Х3	Y1	Y2	Y3
Y1 ® min Y3 £ 1.1 Y3min=72.6 Y4 £ 1.1 Y4min=52.8	14,52	11,05	5,20	9,07	72,60	50,02
Y3 ® min Y1 £ 1.1 Y1min =11.6 Y4 £ 1.1 Y4min =52.8	27,51	17,00	3,86	11,65	66,50	52,79
Y4 ® min Y1 £ 1.01 Y1min =10.6 Y3  £ 1.1 Y3min =72.6	20,32	17,00	7,61	10,70	66,65	48,23

 

Оптимизация состава красителя по взвешенной сумме критериев оптимальности. Обобщенный критерий в виде взвешенной суммы имеет вид:

F = a1*Y1+ a3*Y3+ a*Y4®min

(8)

где  a1, a3, a4 – коэффициенты значимости (Sa_i =1 и a_i>1).

Тогда математическую модель обобщенной задачи можно получить из частных математических моделей 4.5…4.7 и записать в безразмерном виде:

F = ai*(Yi-Yi min)/(Yi max-Yi min)®min

(9)

10  Х₁  30;    3  Х₂  17;    1  Х₃  9

где Y_{i min} и Y_{i max}- соответственно минимальное и максимальное  значения критерия Y_i , полученные в результате поисковых исследований с использованием математических моделей 4…7.

Чтобы определить весовые коэффициенты a1, a3, a4 необходимо упорядочить частные критерии оптимальности по степени их значимости. Учитывая, что вопрос важности критериев оптимальности носит неопределенный характер и является предметом специальных исследований, оптимизационная задача решается многократно с перебором весовых коэффициентов.

Полученные результаты можно использовать для определения состава красителя при любых расстановках частных критериев оптимальности по степени значимости. Кроме этого, полученные результаты позволяют решать и обратную задачу: расставлять частные критерии оптимальности по степени важности для дальнейших исследований при наиболее приемлемых значениях управляемых характеристик процесса крашения. Так, анализ показывает, что достаточно удачным сочетанием характеристик красителя является: Х1=13,90; Х2=17,00; Х3=6,03. Этим оптимальным параметрам соответствуют весовые коэффициенты 0,33, 0,32, 0,35 соответственно. Следовательно, рассматриваемые критерии оптимальности являются практически равнозначными.

В основу метода оптимизации состава красителя по обобщенной функции желательности положено преобразование частных критериев оптимальности в безразмерную функцию желательности.

Частные критерии оптимальности аппроксимируются  выражением

di = e-е-(а+вY)

(10)

где d_i – частная функция желательности;

Y - показатель эффективности (частный критерий оптимальности);

а, в – параметры функции, которые определяются в результате решения системы уравнений:

ai + вi*Yi min=-ln*ln*(1/di min(max))
ai + вi*Yi max=-ln*ln*(1/di max(min))	(11)

После того, как значения всех показателей эффективности преобразованы в частные функции желательности, вычисляется обобщенная функция желательности D /1/

(12)

Таким образом, задача оптимизации технологического процесса сводится к решению задачи нелинейного программирования с нахождением экстремума функции D и его координат, характеризующих состав красителя.

Обобщенная функция  желательности обладает очень удобным свойством, заключающимся в том, что достаточно хотя бы одного нулевого значения частной функции желательности, чтобы  D также имело нулевое значение. С другой стороны, значение обобщенной функции желательности, равное единице, может быть достигнуто только, когда будет достигнуто наилучшее значение для всех частных критериев оптимизации.

Для решения задач поликритериальной оптимизации необходимо знать границы области поиска, а также весомость каждого показателя эффективности и характер изменения его в этой области (функцию желательности).

Ограничения на  параметры управления принимаются равными верхнему и нижнему уровням варьирования (по Х₁, Х₂, Х₃).

Параметры функции желательности, определяются для каждого показателя эффективности.

 

Таблица 2 - Параметры функции желательности и коэффициенты веса по каждому показателю эффективности

yi  и di	Соответствие  y®d		а	В	a
	1	2
y1 d1	9 0,8	12 0,2	1,829	-0,657	0,33
y3 d3	66 0,8	71 0,2	1,348	-0,760	0,32
y4 d4	48 0,8	65 0,2	1,511	-1,396	0,35

 

Для показателя эффективности, характеризующего вязкость красящего состава, принимается функция желательности d₁. При этом значению y_imax =12 соответствует d_imin =0,2 и наоборот. Это объясняется тем, что повышение вязкости ухудшает смачивающую способность красящего материала, растекаемость по подложке, и как следствие, - ухудшение качества получаемого покрытия. Коэффициент веса для показателя эффективности по вязкости принимается a₁ = 0,33.

Для показателя эффективности по цвету и поверхностному натяжению принимаются функции d₃ и d₄. Ограничения на эти показатели выбираем  от 66 до 71 для цвета и от 48 до 65 – для поверхностного натяжения. Коэффициент веса для показателя эффективности по цвету принимаем d₃ = 0,32, для поверхностного натяжения - d₄ =0,35.

Преобразовав целевые функции в частные и обобщенные функции желательности, находим для них оптимальные составы красителя. Результаты расчетов представлены в табл. 3.

 

Таблица 3 – Оптимальные параметры красителя при использовании в качестве целевой функцию желательности

№ задачи	Целевая  функция	Ограничение параметров оптимизации	Решение задачи			Значения выходных параметров, отвечающих решению
			Х1	Х2	Х3	Y1	Y3	Y4
1	Y1® min	Y371; Y3³66 Y455; Y4³48	15,99	11,71	2,33	9,84	71,00	65,00
2	Y3® min	Y111; Y1³10 Y465; Y4³48	18,57	17,00	2,69	11,00	67,81	65,00
3	Y4® min	Y111; Y1³10 Y371; Y3³66	24,71	10,62	5,62	10,71	70,99	60,49
4	D® min	-	30,00	8,41	3,02	10,91	71,00	65,00

 

D=0.164454+0.0205935*X1+0.0212389*X2+0.0606085*X3-0.000348831*
X12-0.000801554*X1*X2-0.0000369688*X1*X3-0.00019639*X22+
0.000841562*X2*X3-0.0057277*X32	(13)