моделирование распределения средств на модернизацию парка оборудования металлургического предприятия
Мельников А.Ю., Олифировская Т.С. (ДГМА, г. Краматорск, Украина)
The task about distribution of means to modernization of park of the equipment of the metallurgical enterprise is considered. The mathematical model of search of optimum strategy of management is developed and its computer realization is carried out.
Любая сфера человеческой деятельности связана с принятием решений в условиях неполноты информации. Важное место здесь занимает определение основных направлений повышения эффективности производства, методов его определения, построение моделей производственных программ, повышение конкурентоспособности предприятия.
Использование математических моделей и численных методов при разработке производственных программ позволяет повысить эффективность деятельности предприятия путем увеличения способности руководства к принятию обоснованных решений. Одним из таких направлений деятельности является моделирование распределения средств на модернизацию парка оборудования металлургического предприятия.
Входными данными такой модели являются: годовой объём продукции в стоимостном выражении; количество лет, в течении которых используется оборудование; ежегодные затраты, связанные с ремонтом и содержанием оборудования; стоимость нового оборудования; затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования. К выходным параметрам модели можно отнести определение максимальной прибыли, а также решение о сохранении оборудования или о проведении его замены.
Задачу о распределении средств можно рассматривать как задачу динамического программирования, в которой в качестве системы S выступает оборудование предприятия. Состояние этой системы определяется временем использования оборудования t, т. е. его возрастом. В качестве управлений выступают решения о замене и сохранении оборудования, принимаемые в начале каждого года. Обозначим через U1 решение о сохранении оборудования, а через U2 – решение о его замене. Тогда задача состоит в нахождении такой стратегии управления, определяемой решениями, принимаемыми к началу каждого года, при которой общая прибыль предприятия за период планирования будет максимальной.
Эта задача обладает свойствами аддитивности и отсутствия последействия. Следовательно, ее можно решить по алгоритму задачи динамического программирования, реализуемому в два этапа.
На первом этапе при движении от конца использования к началу, для каждого допустимого состояния оборудования, найдем условное оптимальное управление (решение), а на втором этапе при движении от начала к концу использования, из условных оптимальных решений для каждого года, составим оптимальный план замены оборудования на период эксплуатации.
Для определения условных оптимальных решений применяется функциональное уравнение Р. Беллмана.
Исходя из
условий, что к началу k-го года (года
использования оборудования) может приниматься только одно из двух решений –
заменять или не заменять оборудование, прибыль предприятия за k-й год (
) составит:
(2)
где 
– возраст оборудования к началу k-го года;
— управление, реализуемое в начале k-го года;
– стоимость нового оборудования.
Таким образом, для условий задачи уравнение Беллмана имеет вид:
, (3)
где 
– прибыль предприятия за k-й год;
– годовой объем продукции в стоимостном выражении;
– ежегодные затраты, связанные с ремонтом и содержанием
оборудования.
Используя это уравнение, приступаем к решению исходной задачи. Начнем с определения условно оптимального управления (решения) для последнего года эксплуатации, для этого найдем множество допустимых состояний оборудования к началу данного года.
Так как к
началу эксплуатации приобретено новое оборудование (
=0), то возраст оборудования к началу
последнего года может составлять – k=
где n – количество
лет эксплуатации. Поэтому допустимые состояния системы будут 
. Для каждого из этих состояний находим условно оптимальное
решение и соответствующее значение функции 
.
Используя
уравнение Р. Беллмана и соотношение 
(так как рассматривается последний год расчетного
периода), получаем:
(4)
Подставляя в
формулу (4) вместо 
его значение, равное 1, и учитывая данные вывода, находим
оптимальное решение (
. Далее проведем аналогичные вычисления для других
допустимых состояний оборудования к началу конечного года общего периода
использования (
).
Рассмотрим
теперь возможность состояния оборудования к началу последнего года
эксплуатации, при этом k=n-1. Допустимыми состояниями являются 
.
Для каждого из
них определяем условно-оптимальное решение и соответствующее значение функции 
, используя уравнение Беллмана и выводы. Формула примет
вид:
. (5)
По формуле (6) рассчитаем для каждого из допустимых состояний оборудования к началу каждого года эксплуатации до тех пор, пока возраст оборудования не будет равен одному году, уменьшая при этом k.
,(6)
где z = (
) – возраст оборудования.
При k=1, приравниваем z к нулю, в этом случаи максимальная прибыль рассчитывается по следующей формуле :
. (7)
При окончании расчетов переходим ко второму шагу – при движении от начала к концу использования, из словных оптимальных решений для каждого года, составляем оптимальный план замены оборудования на период эксплуатации.
Наша задача заключается в нахождении стратегии управления, определяемой решениями, принимаемой к началу каждого года, при которой общая прибыль предприятия за период планирования будет максимальной.
Максимальное время, в течении которого используется оборудование, составляет пять лет. Первоначально необходимо собрать данные о годовых объёмах продукции в стоимостном выражении за этот период и ежегодные затраты, связанные с ремонтом и содержанием оборудования. Данные вносятся в соответствующие таблицы программного продукта на вкладке « Данные». Затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, идентичного с установленным, также необходимо учитывать и зафиксировать. Внешний вид рабочей формы с необходимыми таблицами представлен на рис.3.
Рисунок 1 – Внешний вид главной формы после ввода данных
На первом этапе при движении от начала 5-го года к началу 1-го года для каждого допустимого состояния оборудования найдем условно оптимальное решение, U1 – решение о сохранении оборудования и U2 – решение о замене оборудования. Для определения решения используем функциональное уравнение Р.Беллмана. Для последнего года расчетного периода первого состояния, при подстановке численных значений в формулу (4) получим:
(8)
Выгоднее сохранить оборудование, условно оптимальным решением в данном случае будет U1. Уравнение (8) применимо только для пятого года эксплуатации, для 4-го, 3-го и второго года используем формулу (5), на пример, к началу 4-го года эксплуатации, возраст оборудования составит при этом один год, формула примет вид:
(9)
Аналогично определяем решение для остальных лет эксплуатации.
Второй этап заключается в составлении оптимального плана замены оборудования на период эксплуатации при движении от начала 1-го года к началу 5-го года. Для 1-го года эксплуатации решение единственное – следует сохранить оборудование. Значит возраст, к началу 2-го года, равен одному году. Тогда в соответствии с данными вывода, оптимальным решением к для 2-го года является решение о сохранении оборудования. Реализация такого решения приводит к тому, что возраст оборудования к началу 3-го года становиться равным двум годам, при таком возрасте оборудование следует заменить. После замены оборудования его возраст к началу 4-го года составит один год. Как видно из вывода, при таком возрасте оборудования его менять не следует. Поэтому возраст оборудования к началу 5-го года эксплуатации составит два года, менять оборудование не целесообразно. На рис. 3 показан результат работы программы:
Рисунок 3 – Результат работы программы
Практическая реализация данной модели распределения средств на модернизацию парка оборудования металлургического предприятия существенно улучшит систематический поиск возможностей действовать и методов прогнозирования последствий этих действий в заданных условиях, а также в предложении альтернативных эффективных и допустимых действий. Недостаток в данной модели заключается в малом количестве анализируемых показателей, что повышает экономический риск получения максимальной прибыли при таком решении.