МЕТОДИКА РАСЧЕТА ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ ПИЛЬНЫХ ЦЕПЕЙ
Григорьев И.В., Тарабан М.В., Вернер Н.Н.
(ГОУ ВПО СПб ГЛТА им. С.М. Кирова, г.С-Петербург, РФ)
Offered strategy of theoretical determination of length of functioning the saw chains before the refusal, connected with the development of rifts in sections.
Как известно, одной из причин внезапного отказа пильных цепей является разрыв. Главной причиной разрыва цепи, очевидно, является развитие трещин в звеньях, возникающих вследствие циклического нагружения. Определение момента разрыва и развития трещин является сложной технической задачей, решаемой с помощью механики разрушения. При этом необходимо определить экспериментально значение средних напряжений (σ), а также их изменение в течение цикла. Такие эксперименты чрезвычайно сложны и требуют специального сложного, и дорогостоящего, оборудования. В этом случае для приближенного определения момента отказа по трещиностойкости можно использовать полуэмпирические методы, основанные на имеющихся данных, а также использовании вероятностных методов. Одним из таких методов, как известно, является математический метод, основанный на применении теории Марковских цепей (метод В-моделей). При этом
математическим путем строятся так называемые феноменологические стохастические модели накопления кумулятивных повреждений (ФСМКП). В основе построения ФСМКП лежат следующие допущения: 1. Процесс эксплуатации изделия состоит из повторяющихся циклов нагружения (ЦН); 2. Состояния поврежденности дискретны и обозначены через 1, 2….j…β (отказ); 3. Накопление повреждений в ЦН зависят только от этого ЦН и состояния повреждения в его начале; 4. повреждение за ЦН может перейти из состояния, в котором оно находилось в начале этого ЦН в состояние с номером на единицу большем. Время х согласно условию 1 дискретно, т.е. х=0, 1, 2….допускаемые состояния дискретны согласно условию 2. таким образом, при данных допущениях мы имеем случайный процесс с дискретным временем и состояниями, причем условие 3 соответствует Марковскому свойству процесса, который может быть описан математически в виде дискретной Марковской цепи (ДМЦ).
Как известно, ДМЦ является заданной, если известен
начальный вектор (вектор начальных состояний) 
,
(1).
(Причем
). И
переходная матрица, имеющая в данном случае следующий вид:
, (2)
где Рi – вероятность перехода в состояние (из i-1). qi=1 - Рi.
Состояние системы в момент х определяется по известному из теории ДМЦ уравнению Колмогорова-Чепмена:
. (3)
Интегральная функция распределения в момент поглощения (т.е. отказа – состояния «β») определяется формулой:
. (4)
Функции надежности и интенсивности отказов, соответственно, будут равны:
(5);
. (6)
Для дальнейшего рассмотрения полезным является график 
в функции j [1]. Полученные
зависимости позволяют сравнительно легко решить задачу об определении продолжительности
периода до достижения трещиной установленной предельной величины (отказа). Так,
если обозначить w1β
время до отказа в состоянии «β» при условии, что процесс начался из
состояния 1 при х=0, то согласно работе [1], математическое ожидание
времени отказа составит:
, (7)
а дисперсия времени отказа: 
.
(8)
На основании выражений (7) и (8) определяется состояние, j* соответствующее заранее условленному критическому, т.е. когда величина трещин определяет состояние «β» (отказ).
Далее согласно методике, подробно изложенной в [1, стр. 270] решается задача о построении В-модели с наименьшим числом параметров, при известном векторе р0. При этом используется способ выбора рj или, что эквивалентно rj, которые минимизируют число параметров. Он заключается в задании (с помощью обычных формул моментов) четырех блоков постоянных rj. При этом необходимо иметь эмпирические данные о процессе развития трещин во времени (их размерах, а также статистические характеристики – среднее и дисперсию).
Для конкретных расчетов согласно указанной методике необходимы конкретные исходные данные. Изложим порядок их определения.
Для известной марки стали пильной цепи, по графику
зависимости скорости развития трещины 
от величины 
(коэффициент
эффективности напряжений) [2], по определяется (или 
), число циклов
N при
развитии трещины от начального состояния а0 до конечного
(заданного) ак, можно получить используя формулу [2]:
, (9)
где С и п – параметры уравнения Пэриса;
Δσ – размах напряжений в цикле; 
; у1 – функция,
имеющая различный вид, для различных случаев нагружения и расположения трещин.
При определении числа циклов нагружения следует учитывать, что в процессе пиления древесины пильными цепями имеет место ступенчатое возрастание нагрузки на шарнирах цепи при их прохождении по высоте пропила Нпр (рис. 1).
Рисунок 1- Диаграмма возрастания нагрузки на шарнирном соединении пильной цепи при прохождении по высоте пропила
Ступенчатое возрастание нагрузки объясняется вступлением в пропил новых зубьев, которые увеличивают нагрузку, соответственно, на свои усилия резания. Различие возрастающих усилий объясняется неточность изготовления и переточек пильной цепи (разновысотность зубьев) и физико-механическими свойствами распиливаемой древесины (наличие сучков, свиливатость волокон, гниль).
При пилении в пропиле постоянно будет находиться число зубьев:
, (10)
где tз – шаг зубьев цепи.
Изменение тягового усилия пильной цепи после ее выхода из пропила может иметь два случая (рис. 2). В первом случае, когда высота пропила равна целому числу tз. В этом случае в момент выхода из пропила зубца с другой стороны в пропил входит очередной зубец. Изменения общего тягового усилия не происходит. Такой случай встречается очень редко. В большинстве случаев высота пропила не равна целому числу tз. В этом случае в момент выхода зубца из пропила общее тяговое усилие в цепи падает на величину усилия резания этого зубца:
, (11)
где k - удельная работа резания; b ‑ ширина пропила; U ‑ скорость подачи; υp ‑ скорость резания.
Рисунок 2- График изменения тяговой нагрузки в цепи после выхода ее из пропила
Через промежуток времени, равный:
(12)
с другой стороны в пропил входит зуб, и общее тяговое усилие в цепи за пропилом возрастает на величину усилия резания этого зуба. Частота изменения тяговой нагрузки за пропилом в этом случае определяется по формуле:
. (13)
Из формулы (11) можно сделать вывод, что чем меньше шаг между зубьями цепи, тем меньше усилие резания на зубе, тем меньше амплитуда изменения тяговой нагрузки в цепи на ее выходе из пропила. Из формулы (13) видно, что частота изменения нагрузки зависит от скорости резания и шага между зубьями. Чем больше скорость резания и меньше шаг между зубцами, тем больше частота изменения тягового усилия пильной цепи.
Величина определяется по формуле 
[3]. Значение σ
определяется по графикам [1], где параметром является х0,9 –
время вычисления с вероятностью 0,9.
Литература
1. Дж. Богданофф, Ф. Козин. Вероятностные модели накопления повреждений. М. Мир 1989.
2. В.Т. Трошенко, Л.А. Сосновский. Сопротивление усталости металлов и сплавов. Справочник, Киев, Наукова Думка 1987.
3. А.С. Гусев. Сопротивление усталости и живучесть конструкции при случайных нагрузках. М. Машиностроение 1989.