НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОДНОКАНАЛЬНОЙ ДВУХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОТОКОМ ТРЕБОВАНИЙ

 

Сосновский В.Я. (БГИТА, г.Брянск, РФ)

 

The technique of functioning of single-channel biphase system of mass service with the limited stream of requirements is considered.

 

Примером одноканальной двухфазной системы массового обслуживания с ограниченным потоком требований могут служить пункты технического обслуживания тракторов лесохозяйственных предприятий, в которых выполнение регламентных работ осуществляется двумя специализированными звеньями. Для выполнения производственной программы каждое лесохозяйственное предприятие располагает необходимым по составу и численности машинно-тракторным парком. Инженерно-технической службой предприятия разработана и осуществляется на практике планово-предупредительная система технического обслуживания  и ремонта машинно-тракторного парка.

Каждый трактор, чтобы пройти техническое обслуживание, вначале осматривается первым звеном, которое проводит регламентные работы двигателей, механизмов гидравлики, управления, а затем вторым звеном. Второе звено проводит регламентные работы трансмиссии, ходовой части, тормозной системы и др.  Этот пример является типичным, но не единственным в своем роде.

Работа подобных систем массового обслуживания будет рассмотрена на примере двухфазной одноканальной системы массового обслуживания с ограниченным потоком требований. Имеется N источников появления требований, от которых поступает простейший поток заявок с плотностью  λ на обслуживание двухфазной системы массового обслуживания, состоящей из двух приборов разной производительности [1]. Время обслуживания приборами заявок подчинено показательному закону распределения с параметрами  μ и μ соответственно, для первого и второго приборов. Поступившее в систему требование вначале обслуживается первым прибором. Если он уже занят, то требование ожидает своей очереди до тех пор, пока все ранее пришедшие требования не будут обслужены. После обслуживания первым прибором, требования поступают на второй. Так же как и в предыдущем приборе, они поступают на обслуживание, если второй прибор свободен. Если прибор занят, то требование становится в очередь. Основной особенностью рассматриваемого случая является ограниченный поток требований.  Пусть общее число требований в системе не может превышать N.

Систему дифференциальных уравнений для этого случая запишем в виде [2]:

……………………………

при  

………………………………………………

 при

………………………………………………

при                                     (1)

…………………………………………

………………………………

при     

…………………………………………………………………..

при    

В стационарном режиме при  λ=const,  μconst,  μconst и  данная система дифференциальных уравнений преобразуется в систему алгебраических уравнений:

-λ

…………………

=0

при   

……………………………………

   при                     (2)

………………………………………….

 =0

при    

……………………………

……………………

                                                при      

………………………………………………………..

         при      

После решения алгебраических уравнений  (2) получены характеристики, описывающие состояния системы массового обслуживания [2]:

1. Вероятность того, что оба прибора свободны от обслуживания:

,              (3)

где    - коэффициенты загрузки первой и второй фаз.

2. Вероятность того, что в первой фазе находятся  требований, а во второй фазе нет требований:

                    (4)

3. Вероятность того, что во второй фазе находятся   требований, а в первой нет требований:

       (5)

4. Вероятность того, что в первой фазе находятся   требований, а во второй фазе  требований:

        (6)

5. Среднее число требований, находящихся в системе, если  :

                 (7)

6. Среднее число обслуженных требований первым и вторым приборами:

=                (8)

7. Среднее число ожидающих требований в системе:

+

+                          (9)

 

8. Время простоя первой фазы в течение рабочей смены определяется вероятностью состояния:

     (10)   

9. Время простоя второй фазы в течение смены определяется вероятностью состояния:

      (11)

Приведенные математические зависимости позволяют сделать оценку работы оперативных звеньев по проведению работ по техническому обслуживанию тракторов на пункте технического обслуживания лесохозяйственного предприятия.

Литература

1.    Сосновский В.Я. Вероятностная оценка функционирования технологического комплекса лесосечных машин. Сб. научных трудов «Актуальные проблемы лесного хозяйства», В. 16.-Брянск: БГИТА, 2006. – с.42-45.

2.    Новиков О.А. Петухов С.И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. – М: «Советское радио», 1969. – 398 с.