СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ РЕЖИМОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЛЕСОЗАГОТОВИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА

 

Меньшиков А.М., Копейкин А.М. (АГТУ, г.Архангельск, РФ)

 

The statistical control of modes of technological processes of manufacture over preparation of a wood.

 

Оперативное управление лесозаготовительным производством базируется на результатах изучения потоков древесины. В силу случайных причин теку­щие показатели процессов отклоняются от своих математических ожиданий (трендов) как в бòльшую, так и в меньшую сторону, в связи с чем возникает необходимость корректирования хода процесса. Но при этом не должно быть ненужного вмеша­тельства, ложная необходимость которого может возникнуть при случайных отклонениях показателей от тренда, обусловленных влиянием объективных факторов. Установить, являются ли эти отклонения случайными или они вызваны нару­шением процесса, помогает оперативный статистический контроль производ­ства, осуществляемый методом выявления маловероятных событий, например, с помощью контрольных карт Шьюхарта [1].

Однако применение контрольных карт правомерно лишь в том случае, когда наблюдаемый процесс является случайным и стационарным. Доказано [2], что основные лесозаготовительные процессы (вывозка древесины, производство круглых лесоматериалов) обладают специфичной периодической нестационарностью, а распределение последовательных уровней временных рядов их показателей существенно отличается от гауссовского. Поэтому контролировать таким способом режимы протекания нестационарных процессов лесозаготовок не корректно, во всяком случае, при использовании для этой цели непосредственно исходных временных рядов показателей.

В высокотехнологичных отраслях оперативный контроль и управление технологическими процессами реализуются с помощью автоматизированных систем управления, что позволяет обнаруживать разладку процесса в режиме реального времени. При этом используется метод прогнозирования изменчивости свойств статистических оценок показателей процесса на основе взаимосвязи амплитудных и спектральных характеристик, разработанный в теории выбросов процессов и последовательного обнаружения изменения свойств временных рядов [3,4,5]. В лесозаготовительной отрасли этот метод до сих пор не применялся из-за отсутствия алгоритмов обработки нестационарных временных рядов показателей процессов.

Корректное с технологической и математической точки зрения решение данной задачи даст возможность осуществлять автоматизированный статистический контроль режимов протекания основных лесозаготовительных процессов и кумулятивных объемов производства в течение суток, месяца, квартала или года синхронно с поступлением первичных данных, что обеспечит на уровне технологических процессов предприятия своевременное выявление разладки процессов, а на уровне корпораций и отрасли – обнаружение момента входа их в фазу кризиса. В свою очередь, это позволит предприятиям, корпорациям и департаментам ЛПК своевременно принимать меры корректирующего воздействия.

Покажем на примере процесса вывозки древесины алгоритм решения этой задачи, используя теоретический подход с позиций статистической динамики. В соответствии с классификацией в [5], она относится к классу задач скорейшего обнаружения скачкообразного изменения статистических характеристик наблюдаемого процесса при приемлемом уровне ложных тревог. Последовательность показателей объемов вывозки {X_t} накапливается непрерывно (Т→∞) и решение о появлении разладки (т.е. обнаружении неизвестного момента t₀) принимается в темпе с появлением очередного наблюдения X_t.

Для этого требуется:

1. Отыскать правило подачи сигнала о разладке, минимизирующее среднее время  запаздывания в обнаружении разладки при заданном математическом ожидании  числа ложных тревог, подаваемых до момента появления разладки:

                                              ,                                                  (1)

                                               τ = t_a – t₀ + 1,                                                        (2)

где t_a – момент подачи сообщения о разладке.

2. Минимизировать  при заданной вероятности  α  ложной тревоги:

                                                                                                    (3)

3. Разработать алгоритм, минимизирующий верхнюю границу  среднего запаздывания в обнаружении разладки

                                                                                                     (4)

по всем возможным моментам возникновения разладки, при заданном среднем времени

                                                                                               (5)

от начала наблюдения до подачи ложной тревоги при условии, что наблюдается неразлаженная последовательность показателей объемов вывозки.

Примем допущение, что скорректированный после обнаружения разладки процесс функционирует нормально.

Как и в случае определения функциональной надежности лесотранспортных систем [2], наряду с чисто технологическим аспектом возникает необходимость установления экономически обоснованной границы раздела зон функционирования процесса вывозки древесины в нормальном и разлаженном режиме. Однако определение экономических потерь, связанных с разладкой процесса, выходит за рамки данной работы, в связи с чем укажем только общее направление для решения задачи при некоторой директивно установленной границе h раздела зон.

В общем случае решение получается на основе алгоритма кумулятивных сумм g_t (далее – АКС) [5]:

              ,                         (6)

который для последовательности гауссовских случайных величин имеет вид

           ,                   (7)

где (х)⁺ = max (0, х), g₀ = 0 (первая четверть координатной плоскости);

        S_t – кумулятивная сумма на шаге t;

        k – номер шага последовательного критерия отношения вероятностей в текущем цикле, начавшемся в момент t.

При этом правило подачи сигнала о разладке предлагается в [5] в виде

                                            t_a = inf {t ≥ 1 : g_t ≥ h}                                              (8) 

АКС представляет собой многократно применяемый последовательный анализ А.Вальда [4], а конкретно – последовательный критерий отношения вероятностей для двух простых гипотез Н₁ (нет разладки): θ = θ₁ и Н₂ (есть разладка): θ = θ₂, где θ – скалярный параметр плотности распределения вероятностей р(ε_t/θ) наблюдения ε_t. Здесь и далее {ε_t} – центрированный стационарный гауссовский процесс, полученный элиминированием из исходного процесса вывозки древесины Х_t систематических компонентов и идентифицированный уравнением авторегрессии (АР-моделью)

                           (9)

методом, разработанным в [2].

Графическая иллюстрация АКС представлена на рисунке.

 

Так как до разладки S_t в среднем дрейфует вниз, а после разладки вверх, то на каждом шаге t сравнивается разница  и, как только она станет значимой, т.е. превысит порог , подается сигнал о разладке процесса. Момент разладки трактуется как факт перехода гипотезы Н₁ в Н₂.

Для модели остаточного ряда в виде "чистой авторегрессии" (9) вектор параметров состояния  имеет вид

                                                                  

                                          .                                      (10)

Коэффициенты a_τ являются оценками параметров АР-модели по методу Юла-Уокера, а математическое ожидание среднего в силу центрирования ряда остатков равно нулю (). Из этого следует, что применение АКС для определения разладки процесса вывозки "по среднему" не имеет смысла. Разладку необходимо определять путем обнаружения изменения дисперсии  в спектре белого шума  от  до .

Вывод соответствующих формул приводится в работе И.В.Никифорова [5].

Приращение решающей функцииАКС имеет вид

                           ,                         (11)

при этом гипотетические значения  на левом краю ряда определяются с помощью АР-модели способом возвратного прогнозирования [2].

Решающая функция имеет вид

                                   ,                                        (12)

а правило остановки – вид (8).

Оценка для среднего времени до ложной тревоги определяется по формуле

                      ,                  (13)

среднего времени запаздывания в обнаружении разладки по формуле

                                       (14)

Данный алгоритм расчета параметров разладки составляет основу для разработки автоматизированной системы статистического мониторинга лесозаготовительных процессов. Применение системы, учитывающей специфическую сезонную динамику лесозаготовок и при этом идентифицирующей раздельно колебания объемов производства, вызванные действием объективных случайных факторов и колебания, обусловленные сложившейся практикой управления процессами, позволит поднять качество управления лесозаготовительным производством на более высокий уровень.

 

Литература

1. Свиткин М.З. Контроль и управление качеством продукции в лесной и деревообрабатывающей промышленности. – М.: Лесн. пром-сть, 1979. – 216 с.

2. Меньшиков А.М. Технологический анализ и моделирование процессов лесозаготовок методами статистической динамики. Дисс. канд. техн. наук. – Архангельск: 2007. – 180 с.

3. Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов. – М.: Наука, 1987. – 304 с.

4. Вальд А. Последовательный анализ / Пер. с англ. – М.: Физматгиз, 1960. -328 с.

5. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. – М.: Наука, 1983. – 189 с.