МЕТОД АНАЛИЗА ПРОФИЛЬНОЙ ПРОХОДИМОСТИ
ЛЕГКОГО ВЕЗДЕХОДА
Иванов Н.А., Мясников Е.В. (ТОГУ, г. Хабаровск, РФ)
Let's offer a new method of analysis of profile permeability of the wood rover for want of movement on woody terrain.
В данной статье представлена методика анализа профильной проходимости легкого вездехода на пневматиках сверхнизкого давления при его движении по лесистой местности. В качестве инструмента исследований предложен новый метод анализа, который основан на изучении положения горизонтальной проекции вездехода на плоскости с нанесенными на ней препятствиями – деревьями. Поэтому этот метод предлагается называть методом планиметрирования*. В качестве критерия оценки профильной проходимости предлагается использовать такой показатель как вероятность преодоления участка лесистой местности.
В общем виде задачу можно сформулировать так: определить вероятность продвижения вездехода на расстояние L, если известно количество деревьев N, штук, на пробной площади S0, м2, средний радиус дерева R0 ≥ 0 и ширина вездехода b.
С практической точки зрения также представляет интерес решение обратной задачи, когда по известной вероятности преодоления лесистой местности определяется ширина вездехода.
Также большой интерес представляет выявление влияния формы вездехода на его проходимость, так как это в принципе позволяет стратегически наметить вариант разрабатываемого вездехода: или трехколесный, представляющий в плане треугольник, или разрабатывать четырех- или шестиколесную машину, представляющую в плане прямоугольник.
Одиночные деревья, произрастающие в лесу, относятся к непреодолимым препятствиям, вездеход через них проехать не может, он их может только объехать. Поэтому, в данном случае, состояния вездехода можно охарактеризовать понятиями «движение возможно» и «движение невозможно». Оценочным параметром проходимости при этом может выступать вероятность преодоления участка лесистой местности определенной длины.
Синтез математических моделей исследуемых процессов предполагает определенную степень формализации или принятие некоторых допущений при их описании.
В данном случае движение вездехода можно представить в виде цепочки последовательно выполняемых передвижений с шагом от минимального до равного половине ширины колеи вездехода. Причем при совершении очередного шага возможно движение как прямо, так и с поворотом влево или вправо.
* Название метода получено от слова планиметрия, трактуемого как часть геометрии, изучающая фигуры на плоскости.
Поскольку деревья представляют для вездехода непреодолимые препятствия, то его движение возможно лишь в том случае, если на пути не будет деревьев. Также вездеход может быть ограничен в совершении маневров, когда он останавливается при встрече с первым же деревом, а может обладать повышенной маневренностью, когда при встрече с деревом он может сделать один шаг назад, выбрать новый путь и продолжить движение.
Поэтому начальное решение данной задачи проведем при следующих допущениях:
1. Вездеход в плане представлен в виде правильного треугольника. Такая форма является одним из частных случаев формы трехколесного вездехода при виде сверху и принята для более точного математического описания процесса его передвижения.
2. В любой момент возможно (при отсутствии препятствий) движение прямо вперед и повороты относительно точек касания задних колес с поверхностью. Поворот вокруг одного из задних колес возможен при наличии симметричного конического дифференциала в ведущем мосту и заторможенном до блокировки колесе, вокруг которого осуществляется поворот.
3. Деревья расположены независимо друг от друга.
4. Вероятность появления деревьев зависит только от их плотности на определенном участке, но не от формы самого участка.
Рисунок 1- Схема движения вездехода по участку лесистой местности
Поскольку при поворотах точки вездехода перемещаются на разные расстояния в каждый момент, под его перемещением понимаем перемещение середины задней оси.
Решение задачи основано на том, что вероятность отсутствия точечных
препятствий или деревьев при их радиусе R0 =
0 на площади S, которую покрывает вездеход при движении
(рис.1), составляет 
,
где ρ = 
- плотность деревьев на участке.
Если же R0>0, но R0<<b, что больше соответствует реальности, задачу можно свести к
случаю, когда R0 = 0, считая ширину вездехода,
равной b0 = b + 2R0.
Обоснованность данного предположения вытекает из следующих соображений.
Пусть на участке пробной площади S0 разбросано случайно N деревьев (рис.1). Необходимо найти вероятность того, что на участке S < S0, покрываемом вездеходом при движении, нет ни одного дерева, что по сути будет означать возможность преодоления вездеходом участка S0.
Разделим всю площадь S0 на малые
участки ΔS, их будет 
штук. ΔS
стремится к нулю, поэтому появление более чем одного дерева на ΔS считаем невозможным. Тогда вероятность появления одного
дерева на ΔS составляет 
, а вероятность отсутствия
деревьев на ΔS, очевидно, (1-).
Назовем испытанием проверку участка ΔS, а событием – «появление дерева на ΔS».
Проверка участка S состоит из 
испытаний,
причем вероятность события в отдельном испытании стремится к нулю.
Испытания независимы, так как появление дерева на одном ΔS, никак не влияет на появление другого дерева на другом
ΔS. Считая целым числом n,
получаем по формуле Я. Бернулли [1] вероятность того, что на участке S будет в точности k деревьев:
PS(k) = 
.
В частном случае при k = 0 получим вероятность отсутствия деревьев на участке S:
PS(0)
= 
.
То есть:
PS(0) = 
.
Сделаем ΔS → 0, тогда
=
по второму замечательному
пределу [1].
Но 
-
плотность деревьев на участке, поэтому окончательно получаем формулу для
определения вероятности отсутствия деревьев на участке S
в следующем виде:
(1)
где ρ – плотность деревьев на единице площади; S – площадь участка, покрываемого вездеходом при движении.
Что и положено в основу решение задачи.
Для расчета вероятности совершения хотя бы одного шага необходимо рассчитать площадь, покрываемую вездеходом при совершении этого шага, подставить полученное значение площади в формулу (1) и произвести необходимые расчеты.
При этом в соответствии с теорией вероятности для вычисления вероятности сдвига на один шаг хотя бы в одном из направлений необходимо знать вероятность сдвига вперед, влево и вправо, а также вероятности сдвига в двух и всех трех направлениях.
По формуле вероятности суммы совместных событий [1]:
Р(ΔL = 0,5b) = P(вп) + Р(л) + Р(пр) – [Р(л, пр) + Р(вп, пр) + Р(вп, л)] + Робщ,
Для продвижения на расстояние L необходимо
сделать n = 
= 
таких шагов. Вероятность того, что
ни на одном шаге движение не будет остановлено, составляет:
Р(ΔL = L) = 
.
Литература
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В.Гнеденко.- М., 1961.- 365 с.