ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОСТУПЕНЧАТЫХ РЕДУКТОРОВ

 

Шахнюк Л.А. (БГИТА, Брянск, РФ)

 

The problem of optimum designing many step reducers with cylindrical cogwheels is considered. Criterion function represents total interaxal distance. The technique of definition of a minimum of criterion function which has allowed to distribute rationally the transfer relation on steps of a reducer is given.

 

Оптимальное (наилучшее из возможных) решение представляет собой результат применения методов теории оптимизации в техническом проектировании. Под оптимизацией понимается процесс, в котором максимизируется (или минимизируется) количественная характеристика определенного свойства технического объекта. В данном случае требуется минимизировать суммарное межосевое расстояние.

Условия взаимодействия между элементами технической системы выражаются уравнениями связи (условиями равновесия, прочности, совместности перемещений и т.д.). Пусть m - число уравнений связи, описывающих условия функционирования системы. При проектировании эти уравнения образуют систему, содержащую n неизвестных (x₁, x₂,...,x_n) - переменных проектирования. Варьируя этими переменными, можно получить различные варианты проектных решений. Особенностью инженерных задач является то, что m<n. В этом случае каждая инженерная задача имеет множество решений. Число переменных n может быть достаточно большим, при этом увеличивается сложность и многовариантность задачи. Вот почему часто приходится уменьшать число переменных, используя те или иные соображения, или же допускать их изменения в некоторых пределах, определяемых требованиями технологии изготовления, стандартов и т.п. В соответствии с этим вводят ограничения  на параметры проектируемого объекта. К ним следует отнести:

- функциональные ограничения на параметры оптимизации

y_s = y_s  (x₁, x₂, ... , x_n)  £ 0, s=[1, p].

Используя ограничения в виде равенства, т.е. y_s =0, можно понизить размерность задачи, уменьшив число изменяемых параметров;

- параметрические ограничения

x_i Î [a_i ,b_i], i=1,2, ... ,n.

Параметрические ограничения можно записать в другой форме, а именно : a_i£x_i£b_i, где a_i и b_i - минимальное и максимальное значения i-го параметра;

- дискретные ограничения

x_j Î { x_j1 , x_j2 , ... , x_jn},

где x_jk, k=1, 2, ... ,n - допустимое дискретное значение j-го параметра, k - номер дискретного значения.

Дискретные ограничения связаны с требованиями стандартов, физической сущностью и т.д. (например, модуль зубчатого колеса как дискретная величина устанавливается стандартом, число зубьев колеса должно быть целым числом). Кроме того, некоторые переменные могут иметь ограничения по знаку, выражаемые соотношением  x_j ³0. Назначение ограничений является важным этапом при решении оптимизационной задачи, так как не учет каких-либо ограничений может привести к тому, что считающаяся “оптимальной” конструкция может иметь параметры (или структуру), не соответствующие оптимальным. В этой ситуации требуется затратить существенные расходы на доводку конструкции. С другой стороны, введение в рассмотрение избыточных ограничений усложняет расчет конструкции и в общем точность получаемых результатов. Таким образом, выбор ограничений представляет собой самостоятельную задачу и в большинстве случаев основывается на опыте и интуиции конструкторов.

Выбор оптимального решения или сравнение альтернативных решений проводится с помощью некоторой функции, определяемой проектными параметрами. Эта функция носит название целевой функции (или критерия качества). В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения параметров, при которых целевая функция имеет экстремум (минимум или максимум). Целевая функция - это главный критерий оптимальности в математических моделях, с помощью которых описываются инженерные или экономические задачи. Целевую функцию можно записать в виде

F=f(x₁ , x₂ , ... , x_n ) ® extr,   x_i Î D,

где переменные x_i принадлежат области допустимых значений D.

Целевых функций может быть несколько. Тогда в качестве основной функции цели (критерия качества) объекта может быть выбран суперкритерий, в который определенным образом входят несколько целевых функций. Иногда одна из целевых функций принимается в качестве основной, а остальные функции учитываются в виде ограничений. Можно выделить два класса задач оптимизации: безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума функции цели от n переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве n-мерного пространства (гиперкубе). Условные задачи или задачи с ограничениями требуют задания некоторых ограничений.

При конструировании многоступенчатых редукторов необходимо выбрать такие передаточные числа по ступеням, которые обеспечили бы минимальные размеры редуктора. Определяющим параметром (критерием качества) в этом случае будем считать суммарное межосевое расстояние a_S.

Межосевое расстояние между k-м и последующим k+1-м валами (рис. 1) определяется выражением

                         (1)

Здесь k =1,2,...,n - число ступеней; m_k - модуль зубчатых колес k-й ступени, u_k =   Z_kk / Z_шk - передаточное число k-й ступени.

 

Рисунок 1- Схема редуктора

 

Суммарное межосевое расстояние - расстояние от оси первого (входного) вала редуктора до последнего (n+1) выходного вала запишем в виде

        (2)

Предположим, что числа зубьев шестерен одинаковы для всех ступеней, тогда, переписав выражение (2), получим

.

В качестве функции  цели примем минимум суммарного  межосевого расстояния, т. е. a_S ® min.

Сформулируем систему ограничений, рассматривая 2-х ступенчатый редуктор: 1) контактные напряжения на рабочих поверхностях зубьев при передаче крутящего момента должны быть не больше допускаемых; 2) вращающие моменты на шестернях связаны условием T_ш2-T_ш1u₁=0; 3) общее передаточное число u_S и передаточные числа ступеней u₁ и u₂ образуют ограничение в виде равенства u_S - u₁ ^. u₂ =0.

Таким образом, выбор передаточных чисел в редукторе сводится к определению переменных проектирования, минимизирующих суммарное передаточное отношение и удовлетворяющих перечисленным требованиям.

Известно, что межосевое расстояние, определяющее габариты редуктора, зависит от контактных напряжений и других факторов, которые входят в выражения для стальных эвольвентных прямозубых передач внешнего зацепления. Полагая, что k_H1 = k_H2 , y_а1= =y_а2  и  [s_H1] = [s_H2], выразим суммарное межосевое расстояние a_S = a_1,2 +a_2,3  в виде следующего уравнения

    (3)

Перепишем уравнение (3), обозначив через  C величину, стоящую перед квадратной скобкой и приняв во внимание, что T_H2 / T_H1 = u₁. Тогда получим выражение

                (4)

Для того чтобы найти экстремальное значение функции (4), в которой переменные u₁ и u₂ связаны между собой зависимостью j = u_S - u₁ u₂ =0, применим метод множителей Лагранжа. Сформулируем задачу следующим образом. Требуется найти экстремальные значения функции F(u₁, u₂,l), имеющей вид

                                         (5)

где l - неопределенный множитель.

Для нахождения экстремальных значений функции, выраженной уравнением (5) возьмем частные производные.

В результате получим

Решая совместно систему уравнений, полученных путем приравнивания производных нулю, с учетом, что u₂ =  u_S / u₁, найдем требуемую зависимость передаточного числа первой ступени от общего передаточного числа редуктора. Эта зависимость имеет вид

                                                    (6)

На рис. 2 приведена зависимость передаточного числа первой ступени от общего передаточного числа редуктора при соблюдении принятых условий и ограничений. Этот график позволяет произвести разбивку передаточного числа по ступеням редуктора, если известно общее передаточное число редуктора.

Рисунок 2- Зависимость передаточного числа первой ступени от общего передаточного числа редуктора

 

Рассмотренный пример представляет собой частный случай оптимизационной задачи. В общем случае задачи проектирования машин являются многокритериальными, когда приходится учитывать уменьшение себестоимости, увеличение надежности, уменьшение материалоемкости, увеличение КПД и т.д.