ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РАСЧЕТОВ ТОНКОСТЕННЫХ ДЕТАЛЕЙ МАШИН

 

Серпик И.Н. (БГИТА, г. Брянск, РФ)

 

A new triangular finite element has been developed for refined calculations of the bending deformations of thin machine constructions.

 

При расчетах тонкостенных деталей машин большое значение имеет выполнение уточненного анализа изгибных составляющих напряжений. В настоящей работе предлагается простой, но высокоточный треугольный конечный элемент для расчетов на изгиб тонких пластин (рис. 1).

 

 

Рисунок 1- Треугольный трехузловой конечный элемент

 

Представим обобщенные деформации пластины , выражаемые через проекцию  вектора прогиба на ось  (, , ) [1], в виде линейных зависимостей

где  – -функция узла ; – значения в узле  функций  .

Введем местные системы осей  и  (см. рис. 1). На основании правил дифференциальной геометрии нетрудно получить выражение

где векторы ,  определяются равенствами

, – проекции вектора прогиба на оси ,  ; матрица  вычисляется через углы  и  (см. рис. 1).

Вектор деформаций , объединяющий значения деформаций   в точке 4, в соответствии с формулами (1) - (3) можно определить таким образом:

где – матрица порядка , ненулевые элементы которой  ;  – значение вектора  в точке 4.

На основании зависимости (4) и предположения о том, что прогиб вдоль отрезков 1-2 и 3-4 изменяется по кубическим законам, а угол поворота относительно оси вдоль отрезка 1-2 – по линейному, получено выражение для вычисления матрицы деформаций  в точки 4 для системе осей :

где  – матрица, связывающая вектор  с вектором обобщенных перемещений узлов конечного элемента для системы осей ; – матрица, используемая для преобразования вектора обобщенных узловых перемещений при переходе от системы осей  к системе  [1].

Аналогично можно определить матрицы деформаций ,  для точек 5, 6 (см. рис. 1). Следует отметить, что на стадии вычисления напряжений по найденным узловым перемещениям целесообразно представлять функцию прогиба для всего элемента с помощью неполного полинома третьей степени.

Проиллюстрируем эффективность предлагаемого треугольного конечного элемента на классическом тестовом примере изгиба тонкой шарнирно опертой квадратной пластины (рис. 2), которая находится под действием равномерно распределенной нагрузки, направленной перпендикулярно плоскости  [1]. Пластина изготовлена из изотропного материала. Сторона пластины , толщина , нагрузка имеет интенсивность . Вводилась система пяти последовательно сгущающихся сеток конечных элементов. На рис. 2 показаны первые две из этих сеток. При переходе к каждой новой сетке число элементов увеличивалось в четыре раза путем деления треугольников с помощью медиан.

Результаты расчетов сопоставлялись с решениями данной задачи с помощью конечных элементов Зенкевича [1] при таких же геометриях сеток. В таблице представлены некоторые сведения по определению для каждой сетки напряжений в элементе, прилегающем к центру    пластины  и  отрезку   (на

 

Рисунок 2- Рассматриваемая четвертая часть пластины: a, б – разбивка на

сетки 1 и 2 конечных элементов

 

 

рис. 2 толстыми линиями обозначены границы этих элементов, буквой  – их центры тяжести): , , ,  – это значения координат ,  в точках  и ; – максимальные нормальные напряжения в направлении оси  для заданных , .

 

Таблица - Результаты определения напряжений

 

,	Тип аппроксимации	Значение ,
		для сетки					для точного решения
		1	2	3	4	5
,	Функции Зенкевича	155,7	113,8	99,4	95,1	94,0	114,9
	Предлагаемый	107,3	111,4	115,0	115,0	114,9
,	Функции Зенкевича	53,3	96,0	108,5	111,8	112,6	-
	Предлагаемый	41,1	92,3	109,2	113,5	114,6

 

По отношению к конечному элементу Зенкевича таблица фактически иллюстрирует известное положение о том, что при его использовании анализ напряженного состояния допустимо проводить только на основе изгибающих и крутящих моментов, вычисленных в центрах тяжести треугольников. Для конечного элемента, построенного с помощью предложенной схемы аппроксимации, получена достаточно быстрая сходимость напряжений к точному решению непосредственно при . В сочетании с рассмотренной в работе [2] модификацией методики описания в пластинчатых элементах мембранных перемещений эти аппроксимации могут быть также успешно применены и для уточненных расчетов оболочечных конструкций деталей машин.

 

 

Список литературы

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 541 с.

2. Серпик И.Н. Модификация треугольного плоского конечного элемента для расчетов тонких оболочек. – Брянск, 1995. – 12 с. – Деп. в ВИНИТИ 13.12.95, №3300 – В95.