ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОСЕТОЧНОЙ ИТЕРАЦИОННОЙ СХЕМЫ ДЛЯ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДЕТАЛЕЙ МАШИН С ДЕФЕКТАМИ

 

Серпик И.Н. (БГИТА, г. Брянск, РФ)

 

The calculation of machine elements with defects are considered on the basis of multigrid algorithm of separated and superimposed local deformations.

 

Учет дефектов при анализе долговечности деталей машин обычно связан с уточненным описанием напряженно-деформированного состояния в зонах высокого градиента напряжений. Это может привести к значительной, даже для современных ЭВМ, трудоемкости решения задач. В настоящей работе рассматривается возможность повышения эффективности выполнения расчетов деталей машин с дефектами в виде вырезов на основе использования многосеточного алгоритма раздельных и налагающихся местных дефор­маций метода конечных эле­ментов (РНМД МКЭ) [1] в котором решение сложной задачи сводится к чередованию решений системы уравнений для крупной сетки и ряду относительно небольших систем для более мелких сеток.

Рисунок 1- Трехузловой СКЭ в плоскости

 

Допустим, мы задаем для плоской задачи последова­тельность сгущающихся сеток   трехузловых конечных элементов, где  – общее число сеток. Интер­поляцию этих перемещений с узлов  сетки  на узлы  сетки  осу­ществляем отдельно для каж­дого составного конечного элемента (СКЭ) сетки  (рис. 1). Выразим вектор пере­мещений [2] некоторого до­полнительного узла  сетки , расположенного на заключенной между узлами 1 и 2 непрямолинейной стороне СКЭ, через вектор перемещений этих узлов с помощью матрицы , определяемой следующим образом:

,

где  – матрица косинусов [2] порядка 2 для локальной  и глобальной  систем осей; ,  – значения в узле  координат , ; – расстояние между узлами 1 и 2.

Условие совместности узловых перемещений в данном случае соблюдается, так как реализуется одинаковая схема узловой интерполяции на стыках смежных СКЭ. Задается связь перемещений по координате  с перемещениями по координате , обеспечивающая удовлетворение условия смещения составного элемента как твердого тела. По аналогии строятся блоки  для узлов на сторонах 2-3 и 3-1. Для узлов, не лежащих на границах СКЭ, перемещения выражаются через смещения узлов 1, 2, 3. Проиллюстрируем скорость сходимости алгоритма РНМД при использовании таких криволинейных СКЭ на результатах решения задачи о растяжении прямоугольной пластины с эллиптическим отверстием (рис. 2), находящейся в условиях плоского напряженного состояния.

 

 

Рисунок 2- Пластина с эллиптическим отверстием: а – расчетная схема и фрагмент структуры сетки  при ; б, в, г – разбивка области  пластины на конечные элементы сеток  при и 7

 

Рассматривалась четвертая часть симметричной стальной пластины со следующими параметрами: толщина ; ; ; ; ; модуль упругости материала равен ; коэффициент Пуассона– 0,3. Интенсивность равномерно распределенной нагрузки . Итерационный процесс осуществлялся при ; 5 и 7. При очередном сгущении сетки каждый конечный элемент сетки  разбивался на два конечных элемента сетки .

В таблице приведены некоторые результаты расчетов пластины с отверстием, где  – номер итерации;  – номер варианта интерполяции;  – нормальные напряжения в точке  по оси , определяемые в заштрихо ванных КЭ сетки  (см. рис. 2,б,в,г).

 

 

Таблица - Напряжения

 

В решениях дискретных задач, полученных прямым методом, при ; 5 и 7 величины  соответственно равны 116,2; 149,6 и 169,4 . Для представленных в таблице результатов ошибка по значению  для дискретизированного объекта, стабильно меньшая 1%, достигнута для трех, пяти и семи сеток соответственно за 5, 10 и 12 итераций, что говорит о весьма быстрой сходимости данной вычислительной схемы. Проведя на основе найденных величин  сеточную экстраполяцию по Ричардсону, будем иметь . Отметим, что вычисленное с помощью теоретического коэффициента концентрации напряжений значение напряжения  при  составляет .

Таким образом, алгоритм РНМД МКЭ позволяет добиваться быстрой сходимости итераций для криволинейных СКЭ, что дает возможность использовать эту итерационную процедуру в расчетах деталей машин с дефектами в виде вырезов.

Литература

                       1.     Серпик И.Н. Об оценках скорости сходимости алгоритма итерационного взаимодействия местных и общих деформаций // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1989. – №1. – С. 76-82.

                       2.     Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Fifth edition: The basic. – Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. – Vol. 1. – 689 pp.