ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ПИЛОВОЧНИКА СРЕДНИХ РАЗМЕРОВ

 

Агапов А.И. (ВятГУ, г. Киров, РФ)

 

Formulas have been obtained to determine the optimal sizes of sawn timber products when cutting lumber (logs) by the beam-breaking method.

 

При раскрое пиловочника средних размеров (диаметром от 26 см и до 46 см) из пифагорической зоны выпиливаются, как правило, один брус и четыре доски, а из сбеговой зоны выпиливаются также укороченные доски /2/. Таким образом, в постав устанавливается 8…10 штук пил. Для решения таких задач оптимизации раскроя пиловочника брусово-развальным способом составляем целевую функцию в виде площади поперечного сечения обрезных досок и бруса, вписанных в диаметр бревна в верхнем торце (d)

 

,                                    (1)

 

где Н – толщина бруса;

А – ширина пласти бруса;

Т₁– толщина первой доски;

b₁ – ширина первой доски;

Т₂ – толщина второй доски;

b₂ – ширина второй доски.

 

Эту формулу (1) можно представить в виде

 

,

 

где S_бр – площадь поперечного сечения обрезного бруса;

S₁ – площадь поперечного сечения первой пары обрезных досок;

S₂ – площадь поперечного сечения второй пары обрезных досок.

 

Для решения целевой функции необходимо составить уравнения связи, которые можно представить в следующем виде

 

,

,                                (2)

,

 

Таким образом, математическая модель раскроя пиловочника брусово-развальным способом составлена. Для решения математической модели воспользуемся методом множителей Лагранжа /1/.

 

Функцию Лагранжа записываем в следующем виде

 

    (3)

где λ, λ₁, λ₂ – множители Лагранжа.

 

Для нахождения оптимальных размеров пилопродукции записываем систему частных производных от функции Лагранжа

 

                   (4)

 

Решаем систему уравнений (4). Из первого уравнения системы находим

 

.                                                            (5)

 

Пользуясь первым уравнением связи (2) можно написать

 

.                                                  (6)

 

Подставляя это равенство в формулу (5), получим

 

.                                                 (7)

 

Из второго уравнения системы (4) вычтем третье уравнение этой системы. При этом предварительно третье уравнение системы сократим на два. После вычитания получим

 

.                                              (8)

 

Пользуясь ранее полученными равенствами можно написать

 

.                                                  (9)

 

Из пятого уравнения системы (4) можно написать

 

,                                                  (10)

 

Из шестого уравнения системы (4) можно написать

 

,                                                (11)

 

Для определения толщины первой доски воспользуемся вторым уравнением связи (2). В это уравнение подставим равенство (9), получим квадратное уравнение

 

.                      (12)

 

Решая это квадратное уравнение, получим толщину первой доски

 

.                                 (13)

 

В четвертое уравнение системы (4) подставляем коэффициент Лагранжа λ₂, пользуясь равенством (11)

 

.                            (14)

 

Из второго уравнения связи (2) вычитаем третье уравнение связи

 

.                       (15)

 

Сложив равенства (14) и (15), получим

 

.                              (16)

 

В последнее равенство (16) подставляем выражения (9) и (13). После преобразований получаем квадратное уравнение

 

.                   (17)

 

Решая это квадратное уравнение, находим толщину второй доски

 

.               (18)

 

Пользуясь равенством (14) можно определить ширину второй доски

 

.                            (19)

 

Подставив в равенство (10) формулы по определению толщины (13) и ширины (9) первой доски определим коэффициент Лагранжа λ₁

 

.           (20)

 

Воспользуемся четвертым уравнением системы (4), в котором сделаем замену b₂, пользуясь равенством (11). Тогда множитель Лагранжа λ₂ можно определить по формуле

 

.                                    (21)

 

Таким образом, система уравнений (4) решена. Найдены все параметры системы уравнений, по которым можно определить оптимальные размеры бруса и досок.

 

Литература

1.    Пижурин А.А., Пижурин А.А. Моделирование и оптимизация процессов деревообработки: Учебник. – М.: МГУЛ, 2004. – 375с.

2.    Рыкунин С.Н., Тюкина Ю.П., Шалаев В.С. Технология лесопильно-деревообрабатывающих производств: Учебное пособие. – М.: МГУЛ, 2003. – 225с.