Численное моделирование методом конечных элементов полей влажности древесины

численное моделирование методом конечных элементов полей влажности древесины с учетом анизотропии ее свойств

Соколовский Я.И., Дендюк М.В., Поберейко Б.П., Кулешник Я.Ф. (УкрДЛТУ, г. Львов, Украина)

For calculation of non-stationary fields of carry of moisture of dried up wood the method of finite elements is used. The received numerical results of non-stationary fields of carry of a moisture during in view of anisotropy of physical-mechanical and the geometrical sizes.

Для разработки рациональных технологических режимов сушки пиломатериалов актуальными являются задачи определения полей влажности с учетом анизотропии древесины. В связи с нелинейностью в общем случае уравнений массопереноса для анализа динамики процессов сушки древесины с учетом анизотропии физических свойств используются графоаналитические и численные методы [1-6]. Анализ показывает, что для решения данного класса задач наиболее приемлемым является метод конечных элементов [7-8].

В данной работе использован метод конечных элементов (МКЭ) [7] для определения двумерных полей влажности пиломатериалов в процессе сушки, которые описываются дифференциальным уравнением

₍₁₎

с соответствующими граничными и начальными условиями:

_{, (2)}

_{. (3)}

_{, (4)}

где U, , , , – соответственно влагосодержание, влагосодержание на поверхности, которое может быть функцией координат, влагосодержание на поверхности, равновесное влагосодержание, начальное влагосодержание, – время, x, y – координатные оси, – коэффициенты влагопроводности вдоль осей анизотропии, , – коэффициент влагоотдачи, , n – нормаль, S – функция координат поверхности.

Реализация МКЭ для двухмерного случая сводит решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) до задачи нахождения минимума функционала

_{. (5)}

В соответствии с [7, 8], интегралы в функционале (5) должны быть разбиты на интегралы по отдельным элементам, то есть

_{, (6)}

где Е – количество элементов.

Минимизация функционала F требует выполнения соотношений

_{, (7)}

где – узловые значения влагосодержания.

Выразив частичные производные в уравнении (5) через узловые значения влагосодержания , получим

Продифференцировав слагаемые функционала (5) для каждого элемента по узловым значениям влагосодержания, запишем его в векторно-матричной форме

_{, (8)}

где: , , – функции формы для треугольного симплекс-элемента; – матрица демпфирования; – матрица влагопроводности; – вектор нагрузки. Вклад каждого элемента в матрицах , и определяется формулами:

_{; (9)}

_{; (10)}

_{, (11)}

где – матрица функций формы для треугольного симплекс-элемента; – матрица коэффициентов влагопроводности; – матрица производных от функций формы.

Все интегралы в формулах (9)-(11) берутся по отдельным элементам. Суммирование вкладов отдельных элементов проводится методом прямой жесткости. Соотношение (8) – это система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения уравнений такого типа, в основном, используют два метода, а именно, частичную производную по времени заменяют ее конечно-разностным аналогом с использованием центральной разностной схемы или используют метод Галеркина в комбинации с конечными элементами уже не в пространственной, а в часовой области [8]. Независимо от метода решения система уравнений (8) будет иметь вид

_{. (12)}

Исходя из начального распределение влагосодержания (4), систему уравнений (8) решаем методом Гаусса с выбором главного элемента.

Вычислительный эксперимент реализован в программной среде VBA, ввод входных данных производится в диалоговых окнах, вывод данных – в Excel.

Входные данные для проведения вычислительного эксперимента процесса влагопереноса высушиваемой древесины следующие:

a, b – ширина и толщина доски соответственно, ; da, db – шаг разбиения вдоль соответственных сторон, da=0,1 см, db=0,25 см.

Равновесная влажность W_R = 7 %, а влажность поверхности W_П = 30 %.

Коэффициенты влагопроводности , коэффициент влагообмена .

Характеристики времени: шаг по времени dt=360 сек.; конечное значение времени t=36000 сек.; количество временных слоев TN=100.

Результаты эксперимента полей влажности древесины приведены на рис. 1-2. Сравнительный анализ кривых 1 и 2 на рис. 1 а, б показывает, что влияние анизотропии на краях сечения доски незначительно. Максимальное отличие кривых распределения влажности по ширине (рис. 1 а) и толщине (рис. 1 б) достигается в центре сечения.

Литература

1. Лыков А.В. Теория сушки. –М.: Энергия, 1968. – 472 с.

2. Автоматизація процесів сушіння деревини у будівельній індустрії: структурний синтез САК/Гірник М.Л., Воронов В.Г., Сафаров В.О та ін. – К.: Будівельник, 1992. – 184 с.

3. Билей П.В. (Издание второе). Сушка древесины твердых лиственных пород. – М.: Экология, 2002. – 224 с.

4. Кречетов В.И. Сушка древесины. – 3-е изд. перераб. – М.: Лесн. пром-сть, 1980. – 432 с.

5. Серговский П.С., Расев А.И. Гидротермическая обработка и консервирование древесины: Учебник для вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Лесн. пром-сть, 1987. – 360 с.

6. Шубин Г.С. Сушка и тепловая обработка древесины. – М.: Лесн. пром-сть, 1990. – 336 с.

7. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 318 с.

8. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979.– 394 с.