математическАя модель системы

«опорная поверхность-движитель-трансмиссия»

Синицын C.C. (БГИТА, г.Брянск, РФ)

The criteria of optimum capacity, controlled parameters, and target functions have been substantiated. The parametric optimization of traction coupling properties to the criterion of minimum energy consumption has been made.

Непременным условием применения оптимальных методов к задаче любой физической природы является наличие в ней критерия эффективности, независимых переменных и ограничений в виде равенств и неравенств, которые и образуют модель рассматриваемой системы.

Характер математических моделей, их сложность и специфика определяются, прежде всего, физической природой реальных систем и процессов, которые они описывают. Многие процессы в механике математически отображаются с помощью разнообразных функциональных зависимостей между переменными величинами. Поэтому, в качестве математических моделей для них служат различные виды уравнений и их систем, начиная от простейших линейных уравнений и кончая дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями.

Из всего многообразия определений математической модели её сущность наиболее точно отражает следующее: «… Математическая модель есть специфический информационный объект в виде системы математических соотношений, которые представляют собой приближенное формальное описание свойств, характеристик и связей объекта – оригинала произвольной природы, являющихся существенными для задачи, решаемой человеком» [1].

Как следует из приведенного определения, математическая модель не имитирует реальный объект во всех подробностях, а принимает во внимание лишь самые важные его свойства, оказывающие решающее влияние на протекание именно исследуемого процесса. При этом качество модели нельзя оценивать ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели прогнозов поведения реальной системы.

Если результаты моделирования подтверждаются близким совпадением выходных характеристик, полученных расчетным путем и экспериментально на реальном объекте в тестовых ситуациях, то можно говорить, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования, степени идеализации реального объекта и принятых критериев оценки.

В соответствии с конкретной целью моделирования системы «опорная поверхность – движитель – трансмиссия», а именно – обеспечение параметрической оптимизации тягово-сцепных свойств, для чего необходимо получить в общем виде явные зависимости критерия эффективности и регулируемого параметра, наиболее целесообразным является разработка частного вида математической модели – аналитической. Аналитическая модель содержит уравнения, описывающие физические свойства и качественно правильно характеризуют поведение реального объекта даже при недостаточной точности, обусловленной принятием необходимых гипотез и допущений. Это позволяет прогнозировать функционирование объекта в различных условия, что и является основным преимуществом таких моделей.

Для построения идеализированной аналитической модели системы «опорная поверхность – движитель – трансмиссия» используем некоторые упрощенные представления реальной системы, а именно:

1) ограничимся рассмотрением лишь стационарных, детерминированных процессов функционирования «системы», в которых предполагается отсутствие всяких временных случайных воздействий;

2) используем принцип декомпозиции, заключающийся в разделении «системы» на совокупность отдельных более простых подсистем;

3) распределённые (диссипативные) параметры «системы» сведем в сосредоточенные;

4) используем идеализацию свойств грунта и шины, представив их однородной изотропной, упругопластичной средой, подчиняющейся принятым моделям;

5) в функциональном описании «системы» ограничимся рассмотрением ее энергетических характеристик, определяющих вид глобального критерия эффективности функционирования «системы».

Процесс построения математической модели условно разобьем на следующие пять этапов.

Первый этап начинается с выделения исследуемой «системы» из реального объекта – колесной машины, с абстрагированием её от всех второстепенных факторов, затрудняющих исследование. Именно на этом этапе сказывается влияние критерия разумной простоты модели, требующего выделения лишь минимально необходимых элементов, обеспечивающих соответствие «системы» функциональному назначению.

На втором этапе в «системе» выделяются элементарные подсистемы, обладающие достаточной автономностью в формировании составляющих критерия эффективности. Взаимосвязь подсистем в этом случае выражается в соотношениях между связывающими переменными.

Третий этап сводится к выделению в «системе» существенных связей, свойств, силовых и энергетических потоков, оказывающих решающее влияние на формирование критерия эффективности. В сформированных подсистемах выбираются связывающие и внутренние переменные так, чтобы анализ каждой из подсистем можно было производить независимо друг от друга.

Четвертый этап связан с формализованной математической формулировкой качественных отношений между входными и выходными параметрами подсистем.

Пятый этап завершается формулировкой в общем виде целевой функции, отображающей зависимость критерия эффективности – энергоемкости функционирования «системы» от внешних и внутренних переменных, и налагаемых на неё ограничений в виде неравенств, включающих верхние и нижние границы для основных переменных модели, чтобы не выйти из заданной области.

Исходя из поставленной цели исследований и принятых допущений, проведем поэтапное формирование аналитической модели для двухосной колесной машины с блокированной межосевой силовой связью, как наиболее характерной базы для лесных и дорожных машин.

Для построения модели выделим из реального объекта минимально необходимое количество элементов, обеспечивающих целенаправленную реализацию потенциальных тягово-сцепных свойств. Этому требованию в полной мере отвечает функциональная группа, представляющая собой совокупность межосевой силовой передачи, движителя и фактора внешней среды – опорной поверхности, образующих замкнутый силовой контур, на вход которого подаётся вращающийся силовой поток, а на выходе формируется линейный силовой поток, определяющий тягово-сцепные свойства. Идеализированное отображений этой реальной системы в виде схемы, состоящей из условных графических элементов, их характеристик, линий взаимосвязи и силовых потоков, приведено на рисунке.

Рисунок - Формализованная модель системы «опорная

поверхность – движитель – трансмиссия»

На схеме приняты следующие обозначения: , - вращающиеся и линейные силовые потоки; , - угловая и линейная скорость колеса; , - вертикальная и продольная реакции корпуса машины на движитель.

Деформационные свойства шины и грунта отображены в виде механических моделей. Так, шина представлена в виде упруго- вязкого () тела, подчиняющегося законам Гука () и Ньютона (), а грунт в виде упруго-пластичного тела (), подчиняющегося законам Гука и Сен-Венана () [2].

Согласно принципа декомпозиции разделим исследуемую систему на две подсистемы, выделенные на схеме пунктирными линиями. Подсистема 1 включает опорную поверхность и пневматическую шину.

Подсистема 2 включает межосевую кинематическую связь и колеса осей. Взаимосвязь этих подсистем выражается через соотношения входных и выходных параметров колёс с пневматическими шинами, а именно, нормальных деформаций шин и радиусов качения колес.

Решение задачи параметрической оптимизации тягово-сцепных свойств на энергетическом уровне требует выделения в системе всех видов необратимых энергозатрат, зависящих от управляемого параметра – давления воздуха в шинах , и определённых рядом независимых переменных.

В качестве основных видов диссипативных (рассеянных) потерь энергии можно выделить следующие: потери энергии на гистерезис вследствие деформации шины; потери энергии на деформацию грунта; потери энергии на упругое скольжение(буксование) колеса относительно опорной поверхности; потери энергии в замкнутом силовом контуре вследствие закрутки элементов межосевой силовой передачи из-за кинематического несоответствия.

Что касается независимых переменных, то здесь достаточно ограничиться следующими:

, - вертикальная и продольная реакции корпуса на движитель (внешние переменные);

и - параметры грунта, определяющие соответственно показатели вертикального прессования и продольного сдвига грунта;

- ширина и высота профиля и свободный радиус шины;

- параметр шины, определяющий показатели вертикальной деформации шины.

Формализованные функциональные соотношения между конкретными видами энергозатрат, наиболее значимыми для них независимыми переменными и регулируемым параметром можно отобразить следующим образом:

; (1)

; (2)

; (3)

. (4)

Тогда в общем виде целевая функция системы принимает следующий вид:

минимизировать (5)

Используя принцип декомпозиции (автономность подсистем модели), зафиксировав независимые переменные и введя ограничения на значения управляемого параметра () окончательно получаем:

(6)

где диссипативные потери энергии соответственно во всей системе и в подсистемах 1 и 2; - давления воздуха в шинах, соответствующие оптимальному, минимально и максимально допустимым значениям.

Литература

1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций М.: Мир, 1971.

2. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов.- М.: Стройиздат, 1979.