Математическая функциональная Модель роста деревьев и древостоев на примере Сосны Кольского полуострова
Лакомов А.П. (СПбНИИлх, г. Санкт-Петербург, РФ)
In present work the growth function of trees and stands is observed what has been worked out for treatment and analysis of the growth of pine of Kola Peninsula in the sphere of air pollution action from “Severonickel” plant. The possibilities of its application are sufficiently wide and perspective (e. g., for dendrochronological and forestry-ecologic purposes).
В настоящей работе предложена функция роста деревьев и древостоев, полученная автором для обработки данных и анализа роста сосны Кольского полуострова в сфере действия загрязнения комбината «Североникель».
Функция выведена исходя из положений теории логистического S-бразного роста на базе автокаталитической логистической функции Ферхюльста–Пирла, которая из-за теоретической упрощённости мало пригодна (точка перегиба находится на половине предельного значения функции, прирост симметричен относительно его максимума, недостаточная гибкость). Было предложено ввести в дифференциальное уравнение, описывающее указанный закон роста, третье слагаемое c, определяющее начальные условия роста. функция прироста как первая производная от функции показателя (высоты, например) по времени будет иметь вид:
(1)
Полученное выражение представляет собой так называемую формулу актуализации (по А.К. Кивисте [1]). Его следует преобразовать к виду
(1а)
Решая дифференциальное уравнение (1а), получаем искомую функцию роста
;
(2)
где x – величина показателя (например высоты), t – время (можно возраст), x1 – нижняя асимптота (величина, лишённая физического смысла, но определяющая стратегию роста и форму S-образной кривой), x2 – верхняя асимптота (предел роста), x0 – базовая величина показателя в момент времени (или возраст) t0.
Формулу (2) можно преобразовать к виду
,
(2а)
где k – биотический потенциал (коэффициент, определяющий скорость роста), а E – градиент роста (зависит от начальных условий и пределов роста).
Поскольку реальное значение имеет верхняя асимптота, формулу следует свести к виду
,
(2б)
где разность ΔX представляет собой ростовой потенциал, который тем больше, чем более отрицательна величина x1.
коэффициенты a, b и c для формулы (1) определяются методом наименьших квадратов, а затем на их основании расчитываются x1 и x2. Коэффициент E определяется как среднеарифметический из ряда значений по xi и ti:
.
(3)
Существуют и другие способы нахождения коэффициентов – приближённого интегрирования и выбранных точек.
Формула (2а) соответствует большинству требований, предъявляемых к функциям роста [1]: достаточная гибкость, наличие верхней асимптоты, удобная формула актуализации, подвижная точка перегиба (в частных случаях S-образный характер может утрачиваться) и т. д. Вместе с тем есть недостатки: симметричность прироста относительно максимального его значения и как следствие частое занижение прогнозных значений (особенно предела роста), с одной стороны (при анализе роста молодых и средневозрастных деревьев и древостоев), и частое отрицательное значение в точке начала координат, с другой (при анализе таблиц хода роста). Однако на практике указанные недостатки сильно не сказываются (весь период роста обычно не принимается во внимание), и формулу можно успешно применять. Испытание её по таблицам хода роста – всеобщим А.В. Тюрина для сосны, ели и дуба [4] и региональным Н.Н. Соколова [3] или В.Ф. Цветкова [5] для модальных сосняков) показало весьма хорошие результаты.
Таблица 1 - Параметры уравнений, рассчитанные для 10 модельных деревьев (тип леса – сосняк чернично-лишайниковый, среднеполнотный относительно разновозрастный древостой)
|
№ дерева |
Показатели деревьев |
Параметры уравнения (2а) |
Параметры уравнения (1) |
||||||
|
диаметр, см |
высота, м |
возраст |
x2 |
x1 |
k |
a |
b |
c |
|
|
31 |
16,2 |
9,85 |
39 |
15,76 |
-4,74 |
-0,06089 |
-0,00297 |
0,0327 |
0,221 |
|
32 |
13,6 |
8,27 |
42 |
12,58 |
-1,23 |
-0,07692 |
-0,00557 |
0,0632 |
0,086 |
|
33 |
11,5 |
8,13 |
46 |
12,2 |
-1,73 |
-0,06867 |
-0,00493 |
0,0516 |
0,104 |
|
34 |
9,0 |
7,96 |
42 |
11,45 |
-1,28 |
-0,07434 |
-0,00584 |
0,0594 |
0,086 |
|
35 |
7,7 |
7,00 |
37 |
9,88 |
-1,59 |
-0,08396 |
-0,00732 |
0,0607 |
0,115 |
|
36 |
6,3 |
7,04 |
36 |
8,6 |
-0,84 |
-0,11658 |
-0,01235 |
0,0958 |
0,089 |
|
37 |
4,9 |
6,05 |
33 |
10,1 |
-1,47 |
-0,08053 |
-0,00696 |
0,0601 |
0,103 |
|
38 |
3,9 |
6,40 |
34 |
7,17 |
-0,49 |
-0,15205 |
-0,01985 |
0,1326 |
0,070 |
|
39 |
2,8 |
4,22 |
28 |
5,69 |
-1,08 |
-0,1073 |
-0,01585 |
0,0731 |
0,097 |
|
40 |
2,3 |
3,88 |
30 |
5,33 |
-0,54 |
-0,11259 |
-0,01918 |
0,0919 |
0,055 |
В качестве примеров приведены результаты применения функции роста для высоты: параметры уравнений (1) и (2а) для 10 модельно-учётных деревьев (табл. 1) и ход роста некоторых из них (рис. 1). Видно, что результаты весьма хорошо согласуются с опытными, а параметры имеют хорошую биокибернетическую интерпретацию. Вместе с тем следует отметить, что величины x2, по-видимому, занижены (в силу небольшой серии лет и указанных математических недостатков). Для диаметров применение столь успешным не было, что можно объяснить общепризнанной спецификой радиального роста сосны на Севере, а для объёма и площади сечения желательно исключить начальный период роста.
Предложенная функция роста обладает рядом достоинств, и особенно пригодна для интерполяции прироста в изучаемой серии лет и выравнивания хода роста. При выравнивании данных таблиц хода роста по всем основным показателям, особенно по высоте, она не уступила по точности широко применимым формулам Хоссфелда (Корсуня), Митчерлиха (Дракина–Вуевского) и Корсуня (Ассмана–Франца) [2], а по удобству даже имеет перед ними существенные преимущества. Её можно рекомендовать в эколого-лесоводственных и дендрохронологических целях.
Рисунок 1- Выравнивание хода роста по высоте по формуле (2а) нескольких модельных деревьев
Библиографический список
1. Кивисте А.К. Функции роста леса. Тарту: ЭСХА, 1988. 108 с. (Приложение 128 с.)
2. Свалов Н.Н. Моделирование производительности древостоев и теория лесопользования. М.: Лесная промышленность, 1979. 216 с.
3. Соколов Н.Н. Ход роста чистых модальных сосновых древостоев Архангельской области. // Вопросы лесоустройства и таксации лесов Европейского Севера. Вып. II. Вологда: Сев.-Зап. книж. изд-во, 1970. С. 49–53.
4. Тюрин А.В. Таксация леса. М.: Гослестехиздат, 1938. 291 с.
5. Эскизы таблиц хода роста сосновых древостоев разных типов формирования в Мурманской области. / Сост. В.Ф. Цветков. Архангельск: АИЛиЛХ, 1992. 16 с.