ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА
ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ПЕРЕРАБОТКИ ДРЕВЕСИНЫ
Кочетова А. Н., Петровский В.С. (ВГЛТА, г.Воронеж, РФ)
The problem is to find time for market of production of wood cultivating industry with making use of apparatus of differential dependence, reform of Laplas, indication stability of Naikvista-Mihailova.
Экономическое состояние и финансовая устойчивость цехов по переработке древесины во многом определяются затратами на производство продукции, продолжительностью производственного процесса, хранения и реализации готовой продукции, выручкой от реализации и полученной прибылью.
Основной проблемой, с которой сталкивается руководство лесхозов – это задержки в реализации продукции. Научный и практический интерес нахождение предельно-допустимого времени, в течении которого продукция должна в процессе производства дойти до стадии завершения и быть реализована, иначе ее выпуск станет нецелесообразным и приведет к дисбалансу финансового состояния промышленного производства в лесхозе.
В Богучарском лесхозе Воронежской области работает цех по изготовлению сувениров. Поскольку продукция цеха очень трудоемкая, процесс ее изготовления продолжителен и составляет в среднем 3 месяца, то рассмотрим динамику изменения ее стоимости в процессе производства и реализации. На рисунке 1 во временных интервалах показаны этапы производства и реализации сувениров.
Рисунок 1- График производства и реализации сувенирных изделий в цехах по переработке древесины в лесхозах
Этот рисунок характеризует динамику изменения по времени стоимости продукции. Динамика изменения стоимости продукции в течении этапа изготовления представлена в интервале 0 – t1, продолжительность которого будет равна трем месяцам, что связано с особенностями процесса производства сувениров.
Экспоненциальный вид возрастания стоимости сувениров за период 0 - t1 указывает, что наиболее адекватной математической моделью этой динамики является дифференциальное уравнение (1.1).
(1.1)
где Т0 - постоянная времени, Т0 =(0 – t1) /3 = 1 мес.;
с1 - стоимость сырья и материалов для производства сувениров, руб.;
с2 - себестоимость сувениров, руб.;
k1 - коэффициент изменения стоимости сувениров; k1 = c2 / c1 .
В период времени t2-t1=t1
происходит хранение готовых сувенирных изделий на складе. Данный процесс
представляет собой экономическое звено чистого запаздывания, динамика которого
описывается уравнением (1.2). 
,
(1.2)
при t1³(t2 - t1), c2=k2 c2; при t1<( t2 - t1 ),
где с2 – себестоимость сувениров, руб.;
k2 - коэффициент увеличения себестоимости, k2 =с3 / с2 .
В период времени t3 - t2=t2 происходит процесс реализации готовой продукции, этот этап также представляет собой экономическое звено чистого запаздывания и может быть описан уравнением следующего вида:
,
(1.3)
при t2 ³ (t3 - t2), С0 =k3 c3; при t< (t3 - t2), С0=с3;
где СО – стоимость произведенной готовой продукции (сувениров) в течении трех месяцев , руб.;
k3 - коэффициент изменения стоимости готовых изделий, k3 = С0 / c2.
Для анализа запаса финансовой устойчивости производства и реализации пиломатериалов нужно получить передаточные функции 3 -х рассматриваемых динамических звеньев экономики. Используя приемы преобразования Лапласа, получим следующие передаточные функции:
1) фаза изготовления сувенирных изделий
(1.4)
2) фаза хранения на складе
(1.5)
3) фаза реализации готовой продукции
;
(1.6)
Для исследования запасов финансовой устойчивости систем со звеньями чистого запаздывания единственно возможным методом является известный в теории управления метод Найквиста-Михайлова [1], а он требует получить в нашем случае передаточную функцию системы динамических звеньев экономики в разомкнутом состоянии (W(p)раз), для чего нужно перемножить имеющиеся передаточные функции.
(1.7)
Для
исследования запасов финансовой устойчивости производства сувениров нужно из
временной области перейти в частотную область с заменой в виде p=jw, где 
, w - частота входных воздействий на экономическую динамику производства
сувениров.
Получим частотную передаточную функцию, которая называется амплитудно-фазово-частотной характеристикой (АФЧХ):
, (1.8)
где U(w) - вещественная часть АФЧХ, jV(w) - мнимая часть АФЧХ.
Нетрудно также теперь получить формулы отдельного вычисления амплитудно-частотной (АЧХ) и фазово-частотной (ФЧХ) характеристик
АЧХ
,
(1.9)
в
нашем случае 
; (1.10)
ФЧХ
,
(1.11)
в
нашем случае 
. (1.12)
Представленную методику реализуем на данных финансово-экономической динамики производства сувенирных изделий в Богучарском лесхозе Воронежской области за 3 квартал 2000 года. Для рассматриваемой экономической системы передаточная функция по формуле (1.8) примет вид:
,
(1.13)
;
(1.14)
.
(1.15)
На рис.2 показана графическая интерпретация частотной
передаточной функции на комплексной плоскости в координатах U(w) и jV(w),
представляющая АФЧХ финансовой системы для производства и реализации сувениров
без запаздывания (t1=0,t2=0 ), т. е.
для случая 
.
 |
Рисунок 2- АФЧХ финансовой системы для производства и реализации сувенирных изделий в Богучарском лесхозе
Практический интерес представляет определение предельно-допустимого времени чистого запаздывания tкр. Система будет на колебательной границе устойчивости при wсtкр = g , тогда tкр = g/wс , где wс - частота при которой АФЧХ (t = 0) пересекается с окружностью единичного радиуса, g - запас устойчивости по фазе g. Следовательно допустимое время чистого запаздывания хранения и реализации сувенирной продукции в Богучарском лесхозе - tд < g / wс , в нашем случае tкр =g/wс » 1,63/1,51 » 1 мес.. Таким образом мы нашли критическое время в течении которого предприятие должно после изготовления реализовать произведенную продукцию, иначе ее выпуск станет невыгодным.
Таким образом, разработанная система представляет практический интерес и позволяет не только оценить сложившуюся на предприятии ситуацию, но и таким образом спланировать дальнейшую работу, чтобы находиться в устойчивом финансовом состоянии.
ЛИТЕРАТУРА.
1. Петровский В. С. Теория управления: Учебное пособие. Воронеж; Воронежская лесотехническая академия, 1998. 166 с.