НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

Воронцов А.П., Самохвалов В.Н. (СамИИТ, г.Самара, РФ)

 

A selection of the class of non-parametric functions of the distribution of the duration of reliable working for the purpose of determining of the reliability of complicated technical systems is grounded, interrelationships of obtaining the multiplication estimations of the peak valve of probability of reliable working are determined.

 

Оценки надежности сложных технических систем, как правило, приходится производить в условиях ограниченного количества информации об их отказах. Поэтому для получения более точной оценки их надежности необходимо объединение результатов испытаний или эксплуатации однотипных изделий, которые накапливаются в банке данных. Статистическая обработка накопленной информации проводится на основе специализированной библиотеки программ с применением теории мартингалов [1; и др.] и методов получения изотонных оценок [2,4 и др.]. В этих методах в качестве основных статистических показателей применяются точечные и доверительные оценки вероятности безотказной работы и функции интенсивности отказов. При этом в первую очередь рассматриваются методы, в которых накладываются минимальное ограничения на свойства неизвестной функции распределения (далее ф.р.) или соответствующей ей функции интенсивности отказа.

Важное значение имеет выбор класса ф.р. [2] продолжительности безотказной работы. Самым широким является класс  всех ф.р. неотрицательных случайных величин . Наряду с ф.р. в теории надежности используется функция ресурса , неубывающая по , которая однозначно определяет ф.р. , .

Подмножеством класса  является класс  всех непрерывных ф.р. . Еще более узкий класс образует абсолютно непрерывные функции  обладающие свойством . Класс  является подмножеством класса , . Если , то существует функция интенсивности отказов , для которой .

В теории надежности находят широкое применение классы ф.р. обладающие некоторыми свойствами старения [3]. Класс возрастных функций , подмножеством которого является: класс  стареющих ф.р. и класс  молодеющих ф.р., т.е. ,

         (а)                              (в)

Существуют и более широкие классы ф.р.: стареющих в среднем  класс ф.р. на интервале , у которых среднее значение функций ресурса  является неубывающей функцией ; и еще более широкий класс  «новое лучше старого» образующих ф.р. , у которой при любых  выполняется неравенство .

Приведенные классы ф.р. продолжительности безотказной работы являются непараметрическими, т.к. ф.р. из этих классов нельзя задать с помощью конечного числа параметров.

Для получения точечной оценки  будем исходить из принципа максимального правдоподобия. Рассмотрим модель случайного цензурирования и общий класс ф.р. .

Согласно принципу максимального правдоподобия нужно рассмотреть вероятность  получения данных  как функционал  от неизвестной ф.р. . В качестве оценки  следует выбрать максимальное значение функции правдоподобия . Для записи функций правдоподобия данные о надежности представим в виде .   (с)

Правдоподобие будет наибольшим, если считать, что  меняется скачкообразно, и скачки сосредоточены в точках , ; . Аналогично будем считать, что ф.р. моментов цензурирования  сосредоточено в точках , и ее скачки ; .

Моменты отказов и цензурирования являются взаимно независимыми. Поэтому, вероятность того, что у сложной системы произойдет отказ в момент  равна . Здесь  равна вероятности того, что момент цензурирования для этой системы наступит позже . Вероятность момента цензурирования  для сложной системы равна . Здесь  определяет вероятность того, что для этой системы момент отказа наступает позже момента цензурирования .

Так как, различные системы отказывают или цензурируются независимо друг от друга, то последовательности (с) соответствует функция правдоподобия

где  зависит только от ф.р. цензурирований ; ,

Таким образом, в соответствии с принципом максимального правдоподобия необходимо получить максимальное значение произведения

                                           ,                                              (е)

; ,                                

 

После преобразования получим максимум  при значении

                                                      , ,                                   (ж)

при

                                                                                           (з)

Так как  непрерывна справа, постоянна на интервалах  и  для , то в соответствии (с), (ж) и (з) получим оценку в виде произведения с конечным числом сомножителей (множительная оценка)

                                                               (и)              

Полученная формула имеет широкую область применения т.к. она справедлива для различных моделей накопления данных о надежности (планового накопления, случайного поступления, назначенных моментов цензурирования), а также для расширенных на класс ф.р.  планов испытаний с неинформативным цензурированием и не упреждающих планов.

 

Литература

1. Хмаладзе Э.В. Некоторые применения теории мартенгалов в статистике/Успехи математических наук, 1982, Т.37, вып.6(228), с.193-212.

2. Барзилович Е.Ю., Беляев Ю.К. и др. Вопросы математической теории надежности. М., Советское радио, 1983.

3. Беляев Ю.К. Непараметрические методы в задачах обработки результатов испытаний и эксплуатации. М., Знание, 1984. –114с.

4. Chu-Jn Charies Lee The min-max algorithm and isotonic regression. – Ann. of Statistic., 1983, V. 11, p.467-477.