Выбор оптимальной скорости движения с учётом нарастания расстройства пути

 

Жаров И.А. (ВНИИЖТ, г.Москва, РФ)

 

The results of studying the optimum movement velocity are stated in the given paper.

 

Из общих соображений ясно, что учёт нарастания расстройства пути в процессе эксплуатации должен вести к уменьшению скоростей движения, оптимальных по критерию минимума эксплуатационных затрат. Определение таких режимов движения является отдельной задачей, которая  решается ниже на основе упрощенной модели движения состава.

Предполагается, что скорость движения по участку оптимальна, если минимальна сумма расходов из-за движения по участку и вследствие потери времени при этом движении. Считая, что первые расходы пропорциональны потерям на трение [1], запишем эту сумму в виде

 J=ò(k₁(W(l,V)+f₂²)+k₂/V)dl,                                                       (1)

где k₂-стоимость единицы времени задержки состава, k₁(l) и V(l) – коэффициент пропорциональности и скорость поезда в данной точке пути, W- сила сопротивления движению поезда, являющаяся квадратичной функцией от V [2], f₂² – сила торможения поезда. Интеграл берётся от 0 до L, то есть по всему участку движения.

Рассмотрим сначала задачу определения оптимальной скорости движения без учёта нарастания расстройства пути. Уравнение Ньютона имеет вид

mVV' = f₁² – f₂² – W(l,V) - I(l),                                                     (2)

где m – масса поезда, f₁² – сила тяги, I(l) – сила из-за уклона пути.

Ограничения по силам имеют вид

 f_i² £ F_i(V).                                                                                       (3)

Эти ограничения можно представить в виде равенств

 F_i(V) = f_i² + q_i²,                                                                              (4)

где q_i – некая функция.

В отдельных точках или на участках пути могут быть ограничения скорости движения 

   V £ V_мах,                                                                                       (5)

вызванные причинами, не зависящими от состояния пути (например, при прохождении стрелок). От каждой точки, где есть ограничение, построим кривые подъёма и спуска. Кривая подъёма показывает, какой скорости можно достичь вперед от данной точки, если после прохождения точки со скоростью V_max(l) разгоняться с силой F₁(V). Кривая спуска показывает, какая скорость могла быть до данной точки, если до прохождения точки со скоростью V_max(l) тормозить с силой F₂(V). Нижнюю границу всех кривых подъёма и спуска обозначим как U(l). Эта функция показывает, какую скорость можно достичь при прохождении данной точки при условии соблюдения ограничений по скоростям и силам. Если эта функция где-нибудь, кроме конечных точек, достигает нуля, значит участок пути не проходим. По построению функции U(l) верно неравенство

    V(l) £ U(l),                                                                                   (6)

которое можно заменить равенством

    U = V + q².                                                                                   (7)

Таким образом, мы имеем задачу вариационного исчисления о минимизации функционала (1) при наложении на функции V(l) и f_i(l) условий (2), (4) и (7). Задача решается стандартными методами вариационного исчисления [3]. Сначала она сводится к минимизации функционала, у которого под интегралом стоит выражение

Q = h(W(l,V) + f₂²) + 1/V - l( mVV' - f₁² + f₂² + W(l,V) + I(l)) -

 - c₁(F₁(V)-f₁²-q₁²) - c₂(F₂(V)-f₂²-q₂²) - c(U-V-q²),                        (8)

где h(l) = k₁(l)/k₂, l, c, c_i -  функции от l. Для этого функционала записываются уравнения Эйлера.

Необходимым условием того, чтобы полученные экстремальные функции были минимумами, является неотрицательность вторых производных Q по оптимизируемым функциям. При решении задачи функция V(l) считается кусочно-непрерывно дифференцируемой. В точках разрыва  производной её экстремалей должны оставаться  непрерывными следующие функции p и H (условие Вейерштрасса-Эрдмана):

   p = Q_v' ,                                                                                      (9)

   H = - Q + V'Q_v' .                                                                       (10)

Из этих условий следует, что функция l должна быть непрерывна. Если функция V, обеспечивающая минимум функционала, состоит из n непрерывно дифференцируемых участков, то условие непрерывности l обеспечивает n-1 необходимое условие для определения тех значений l, при которых стыкуются эти участки.

Предполагаем, что расстройство пути характеризуется величиной х, которая влияет на силу сопротивления движению W так, что

W_x >0, причём скорость нарастания расстройства пути пропорциональна потерям на трение, то есть

∂x/∂z = k(W(l,V,x) + f₂²).                                                               (11)

Величина z показывает количество тонн, перевезенных при данной интенсивности движения. Аналог функции Q имеет вид

Q^* = Q - m( ∂x/∂z - kW(l,V,x) - kf₂²).                                             (12)

Интеграл функционала становится двойным с границами от 0 до L и от 0 до Z. Для этого функционала записываются соответствующие уравнения Эйлера-Остроградского. Вводим обозначение

  h^*(l,z) = h(l) + km(l,z).                                                                  (13)

Уравнение, соответствующее функции x(l,z) таково

∂h^*/∂z = k (l-h^*)W_x.                                                                       (14)

Для функции x(l,z) связь неголономна (в равенство (11) входит ∂x/∂z) и граничные условия таковы:

x(l,0) = x₀(l),                                                                                    (15)

h^*(l,Z) = h(l).                                                                                   (16)

Остальные уравнения (кроме (11) и (14)) при фиксированном z совпадают с уравнениями Эйлера в предыдущем случае. Это позволяет для каждого z свести задачу к предыдущей. При  шаге по z функции  x и h^* пересчитываются по формулам (11) и (14).

Функция h^*(l,0) итерационно пересчитывается вплоть до удовлетворения условия (16).

      В данной работе величина J рассматривалась  для поезда фиксированного состава. Естественно обобщение задачи, при котором находятся оптимальные для данного участка тип локомотива и масса поезда, причём при изменении состояния пути они могут меняться. Возможны и другие обобщения задачи (учет зависимости разных функций от l, F и т.д.), развитие которых сдерживается не сколько громоздкостью получаемых формул, сколько приближенностью исходных функций и коэффициентов. Другими словами, нет смысла делать точность модели выше точности исходных данных и предполагаемых выводов.

 

Литература

1. Черномордик Г.И. Повышение скоростей движения поездов. -М.:Транспорт, 1964. -202с.

2. Правила тяговых расчётов для поездной работы. -М.:Транспорт, 1985. -287с.

3. Буслаев В.С. Вариационное исчисление: Учеб. пособие. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. -288с.